Utilize o PIF para provar que as propriedades abaixo valem para todo natural
d)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente usar o Princípio da Indução Matemática (PIF) pra provar que, para todo número natural
, a soma de
de
até
é igual a
. Então, precisamos entender o que é PIF e como a gente pode aplicar ele pra mostrar que essa igualdade funciona pra todos os
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Princípio da Indução Matemática. Basicamente, ele diz que pra provar que uma afirmação vale pra todo número natural
, a gente precisa fazer duas coisas:
- Base da Indução: Mostrar que a afirmação é verdadeira pra
. - Passo Indutivo: Assumir que a afirmação é verdadeira pra um certo
(isso é a hipótese de indução) e então provar que ela também é verdadeira pra .
Passo 3
Vamos começar com a Base da Indução, ou seja, verificar se a igualdade funciona quando
.
Calculando a soma para
:
Agora, calculando a expressão do lado direito para
:
Então, quando
, os dois lados são iguais a 2. Portanto, a base da indução está verificada.
Passo 4
Agora, vamos para o Passo Indutivo.
Hipótese de Indução: Suponha que a igualdade seja verdadeira para
, ou seja:
Precisamos provar que, sob essa hipótese, a igualdade também vale para
.
Calculamos a soma para
:
Pela hipótese de indução, sabemos que:
Então substituindo:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a expressão:
Perceba que
, então podemos reescrever:
Isso mostra que a igualdade também vale para
.
Passo 6
Como verificamos que a base da indução é verdadeira (
) e que, se a igualdade vale para
, então ela também vale para
, pelo Princípio da Indução Matemática, a igualdade é verdadeira para todo número natural
.
Resposta
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