Utilize o PIF para provar que as propriedades abaixo valem para todo natural n >= 1
d) sumj=1^n j(j+1)=n(n+1)(n+2)3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente usar o Princípio da Indução Matemática (PIF) pra provar que, para todo número natural , a soma de de até é igual a . Então, precisamos entender o que é PIF e como a gente pode aplicar ele pra mostrar que essa igualdade funciona pra todos os .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Princípio da Indução Matemática. Basicamente, ele diz que pra provar que uma afirmação vale pra todo número natural , a gente precisa fazer duas coisas:
  1. Base da Indução: Mostrar que a afirmação é verdadeira pra .
  2. Passo Indutivo: Assumir que a afirmação é verdadeira pra um certo (isso é a hipótese de indução) e então provar que ela também é verdadeira pra .

Passo 3

Vamos começar com a Base da Indução, ou seja, verificar se a igualdade funciona quando sumj=1^1 j(j+1) = 1(1+1) = 1 times 2 = 2 .
Calculando a soma para 1(1+1)(1+2)3 = 1 times 2 times 33 = 63 = 2 :
Agora, calculando a expressão do lado direito para :
Então, quando , os dois lados são iguais a 2. Portanto, a base da indução está verificada.

Passo 4

Agora, vamos para o Passo Indutivo.
Hipótese de Indução: Suponha que a igualdade seja verdadeira para sumj=1^k j(j+1) = k(k+1)(k+2)3 , ou seja:
sumj=1^k+1 j(j+1) = ( sumj=1^k j(j+1) ) + (k+1)(k+2)
Precisamos provar que, sob essa hipótese, a igualdade também vale para sumj=1^k j(j+1) = k(k+1)(k+2)3 .
Calculamos a soma para sumj=1^k+1 j(j+1) = k(k+1)(k+2)3 + (k+1)(k+2) :
Pela hipótese de indução, sabemos que:
Então substituindo:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão:
k(k+1)(k+2)3 + (k+1)(k+2) = (k+1)(k+2) ( k3 + 1 )
= (k+1)(k+2) ( k + 33 )
= (k+1)(k+2)(k+3)3
Perceba que = (k + 1)(k + 2)(k + 3)3 = (k + 1)((k +1)+1)((k +1)+2)3 , então podemos reescrever:
Isso mostra que a igualdade também vale para .

Passo 6

Como verificamos que a base da indução é verdadeira ( ) e que, se a igualdade vale para , então ela também vale para , pelo Princípio da Indução Matemática, a igualdade é verdadeira para todo número natural .

Resposta

sumj=1^n j(j+1) = n(n+1)(n+2)3

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