Utilize o PIF para provar que as propriedades abaixo valem para todo natural n >= 1
e) sumj=1^n(2 j-1)=n^2

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Precisamos provar, usando a Prova por Indução Matemática (PIM), que a soma dos primeiros sumj=1^n (2j - 1) = n^2 números ímpares é igual a . Ou seja, queremos mostrar que:
Para isso, vamos seguir os passos da indução matemática, que inclui verificar a base da indução e depois assumir que funciona para um caso geral e mostrar que também vale para o próximo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a base da indução, que geralmente é para sumj=1^1 (2j - 1) = 2(1) - 1 = 1 . Isso é importante para garantir que a nossa afirmação funciona desde o início.
Quando :
E . Então, para , a igualdade vale.

Passo 3

Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum número natural sumj=1^k (2j - 1) = k^2 . Ou seja, vamos supor que:
Essa é a nossa hipótese de indução. Com essa suposição, queremos mostrar que a afirmação também é válida para .

Passo 4

Vamos calcular a soma para sumj=1^k+1 (2j - 1) = ( sumj=1^k (2j - 1) ) + (2(k+1) - 1) :
k^2 + (2(k+1) - 1) = k^2 + (2k + 2 - 1) = k^2 + 2k + 1
Pelo nosso passo anterior, sabemos que . Então podemos substituir:

Passo 5

Observe que k^2 + 2k + 1 = (k + 1)^2 é igual a sumj=1^k+1 (2j - 1) = (k + 1)^2 :
Então, temos que:

Passo 6

Com isso, mostramos que se a afirmação é verdadeira para , então também é verdadeira para . Como já verificamos que a base (para ) é válida, por princípio da indução matemática, a afirmação é verdadeira para todo número natural .

Resposta

Portanto, comprovamos que:
sumj=1^n (2j - 1) = n^2 para todo n >= 1

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