Utilize o PIF para provar que as propriedades abaixo valem para todo natural
e)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Precisamos provar, usando a Prova por Indução Matemática (PIM), que a soma dos primeiros números ímpares é igual a . Ou seja, queremos mostrar que:
Para isso, vamos seguir os passos da indução matemática, que inclui verificar a base da indução e depois assumir que funciona para um caso geral e mostrar que também vale para o próximo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a base da indução, que geralmente é para . Isso é importante para garantir que a nossa afirmação funciona desde o início.
Quando :
E . Então, para , a igualdade vale.

Passo 3

Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum número natural . Ou seja, vamos supor que:
Essa é a nossa hipótese de indução. Com essa suposição, queremos mostrar que a afirmação também é válida para .

Passo 4

Vamos calcular a soma para :
Pelo nosso passo anterior, sabemos que . Então podemos substituir:

Passo 5

Observe que é igual a :
Então, temos que:

Passo 6

Com isso, mostramos que se a afirmação é verdadeira para , então também é verdadeira para . Como já verificamos que a base (para ) é válida, por princípio da indução matemática, a afirmação é verdadeira para todo número natural .

Resposta

Portanto, comprovamos que:

Exercícios relacionados

Prove por indução as desigualdades
b)
Utilize o PIF para provar que as propriedades abaixo valem para todo natural
d)
Encontre uma fórmula para o termo geral da sequência, assumindo que o padrão dos primeiros termos continue.
Encontre uma fórmula para o termo geral da sequência, assumindo que o padrão dos primeiros termos continue.