Utilize o PIF para provar que as propriedades abaixo valem para todo natural
e)
e)
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Precisamos provar, usando a Prova por Indução Matemática (PIM), que a soma dos primeiros
números ímpares é igual a
. Ou seja, queremos mostrar que:
Para isso, vamos seguir os passos da indução matemática, que inclui verificar a base da indução e depois assumir que funciona para um caso geral e mostrar que também vale para o próximo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a base da indução, que geralmente é para
. Isso é importante para garantir que a nossa afirmação funciona desde o início.
Quando
:
E
. Então, para
, a igualdade vale.
Passo 3
Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum número natural
. Ou seja, vamos supor que:
Essa é a nossa hipótese de indução. Com essa suposição, queremos mostrar que a afirmação também é válida para
.
Passo 4
Vamos calcular a soma para
:
Pelo nosso passo anterior, sabemos que
. Então podemos substituir:
Passo 5
Observe que
é igual a
:
Então, temos que:
Passo 6
Com isso, mostramos que se a afirmação é verdadeira para
, então também é verdadeira para
. Como já verificamos que a base (para
) é válida, por princípio da indução matemática, a afirmação é verdadeira para todo número natural
.
Resposta
Portanto, comprovamos que:
Exercícios relacionados
Prove por indução as desigualdades
b)
b)
Utilize o PIF para provar que as propriedades abaixo valem para todo natural
d)
d)
Encontre uma fórmula para o termo geral
da sequência, assumindo que o padrão dos primeiros termos continue.
Encontre uma fórmula para o termo geral
da sequência, assumindo que o padrão dos primeiros termos continue.