Prove por indução finita: , para .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para provar, usando indução finita, que a soma é igual a para todo . Para isso, vamos precisar entender o que é indução matemática e trabalhar com fatoriais. Vou te guiar passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa provar algo por indução. A indução matemática é uma técnica usada para provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais a partir de um certo ponto. Ela tem dois passos principais:
  1. Base da indução: Verificamos se a afirmação é verdadeira para o primeiro caso, geralmente .
  2. Passo indutivo: Assumimos que a afirmação é verdadeira para algum número e, com base nessa suposição, mostramos que ela também é verdadeira para .
Vamos começar aplicando isso ao nosso problema.

Passo 3

Base da indução ( ):
Vamos verificar se a igualdade vale para .
A soma fica:
E o lado direito da igualdade:
Como , a base da indução está confirmada. A afirmação é verdadeira para .

Passo 4

Passo indutivo:
Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para , ou seja:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.
Nosso objetivo é mostrar que, sob essa hipótese, a afirmação também é verdadeira para :

Passo 5

Vamos usar a hipótese de indução para simplificar a soma:
A soma até pode ser escrita como:
Pela hipótese de indução:
Vamos fatorar :
Sabemos que , então:
Isso mostra que a igualdade é verdadeira para .

Resposta

Com isso, por indução finita, provamos que para todo :

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