Prove por indução finita:
, para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para provar, usando indução finita, que a soma
é igual a
para todo
. Para isso, vamos precisar entender o que é indução matemática e trabalhar com fatoriais. Vou te guiar passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa provar algo por indução. A indução matemática é uma técnica usada para provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais a partir de um certo ponto. Ela tem dois passos principais:
- Base da indução: Verificamos se a afirmação é verdadeira para o primeiro caso, geralmente
. - Passo indutivo: Assumimos que a afirmação é verdadeira para algum número
e, com base nessa suposição, mostramos que ela também é verdadeira para .
Vamos começar aplicando isso ao nosso problema.
Passo 3
Base da indução (
):
Vamos verificar se a igualdade vale para
.
A soma fica:
E o lado direito da igualdade:
Como
, a base da indução está confirmada. A afirmação é verdadeira para
.
Passo 4
Passo indutivo:
Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para
, ou seja:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.
Nosso objetivo é mostrar que, sob essa hipótese, a afirmação também é verdadeira para
:
Passo 5
Vamos usar a hipótese de indução para simplificar a soma:
A soma até
pode ser escrita como:
Pela hipótese de indução:
Vamos fatorar
:
Sabemos que
, então:
Isso mostra que a igualdade é verdadeira para
.
Resposta
Com isso, por indução finita, provamos que para todo
:
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