Prove por indução finita: (1 - 1/4)(1 - 1/9)(1 - 1/16) ... (1 - 1/n^2) = (n + 1)/(2n)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para provar uma igualdade usando indução finita. A equação que queremos provar é:
Aqui, estamos lidando com produtos de termos que têm a forma , onde varia de 2 até . Para provar isso por indução, vamos precisar entender o que é indução matemática e como aplicá-la passo a passo.

Passo 2

Base da Indução:
Para começar, precisamos verificar se a igualdade é verdadeira para o primeiro valor de que faz sentido na expressão. Observando os termos, o menor que temos é , já que o primeiro termo é .
Vamos substituir na equação:
Calculando o lado esquerdo:
E o lado direito também é . Portanto, a igualdade é verdadeira para . A base da indução está confirmada.

Passo 3

Passo Indutivo:
Agora, vamos assumir que a igualdade é verdadeira para algum inteiro . Ou seja, assumimos que:
Essa é a hipótese de indução, onde assumimos que a fórmula funciona para . Nosso objetivo é provar que, se isso for verdadeiro para , então também será verdadeiro para .
Vamos considerar o caso para :
Pela hipótese de indução, sabemos que:
Então, multiplicando ambos os lados por :
Simplificando a expressão:
Cancelando e um :
Isso confirma que a igualdade também é verdadeira para .

Resposta

Portanto, por indução finita, provamos que:

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