Prove por indução finita:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para provar uma igualdade usando indução finita. A equação que queremos provar é:
Aqui, estamos lidando com produtos de termos que têm a forma
, onde
varia de 2 até
. Para provar isso por indução, vamos precisar entender o que é indução matemática e como aplicá-la passo a passo.
Passo 2
Base da Indução:
Para começar, precisamos verificar se a igualdade é verdadeira para o primeiro valor de
que faz sentido na expressão. Observando os termos, o menor
que temos é
, já que o primeiro termo é
.
Vamos substituir
na equação:
Calculando o lado esquerdo:
E o lado direito também é
. Portanto, a igualdade é verdadeira para
. A base da indução está confirmada.
Passo 3
Passo Indutivo:
Agora, vamos assumir que a igualdade é verdadeira para algum inteiro
. Ou seja, assumimos que:
Essa é a hipótese de indução, onde assumimos que a fórmula funciona para
. Nosso objetivo é provar que, se isso for verdadeiro para
, então também será verdadeiro para
.
Vamos considerar o caso para
:
Pela hipótese de indução, sabemos que:
Então, multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando a expressão:
Cancelando
e um
:
Isso confirma que a igualdade também é verdadeira para
.
Resposta
Portanto, por indução finita, provamos que:
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, para
.
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para
.
Prove por indução finita:
.
Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela interseç̧ão das superfíces abaixo
O cilindro e o plano
;
O cilindro