Prove por indução finita:
para
.
Passo 1
Então, a gente precisa provar que para todo número inteiro
maior que 4, a desigualdade
é verdadeira. Vamos usar um método chamado indução matemática para fazer isso. A indução é como escalar uma escada: primeiro, a gente verifica se o primeiro degrau funciona, e depois, mostra que se um degrau funciona, o próximo também funciona. Para isso, precisamos provar dois passos: a base da indução e o passo indutivo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a base da indução, que é conferir se a desigualdade funciona para o menor valor de
que estamos considerando, que é 5.
Calculando:
Então, a base da indução está confirmada.
Passo 3
Agora, vamos para o passo indutivo. A ideia aqui é assumir que a desigualdade é verdadeira para um certo número
maior que 4, ou seja:
E então, mostrar que essa suposição implica que a desigualdade também é verdadeira para
:
Passo 4
Vamos expandir o lado esquerdo da desigualdade que queremos provar:
Precisamos mostrar que:
Passo 5
Subtraindo
de ambos os lados, temos:
Simplificando:
Passo 6
Agora, fatoramos a expressão quadrática:
Queremos que:
Para
, ambos os fatores
e
são positivos, então a multiplicação deles também é positiva:
Portanto:
Resposta
Assim, por indução matemática, provamos que para todo
,
é verdadeiro.
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, para
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