Prove por indução finita: para .

Passo 1

Então, a gente precisa provar que para todo número inteiro maior que 4, a desigualdade é verdadeira. Vamos usar um método chamado indução matemática para fazer isso. A indução é como escalar uma escada: primeiro, a gente verifica se o primeiro degrau funciona, e depois, mostra que se um degrau funciona, o próximo também funciona. Para isso, precisamos provar dois passos: a base da indução e o passo indutivo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a base da indução, que é conferir se a desigualdade funciona para o menor valor de que estamos considerando, que é 5.
Calculando:
é
Então, a base da indução está confirmada.

Passo 3

Agora, vamos para o passo indutivo. A ideia aqui é assumir que a desigualdade é verdadeira para um certo número maior que 4, ou seja:
E então, mostrar que essa suposição implica que a desigualdade também é verdadeira para :

Passo 4

Vamos expandir o lado esquerdo da desigualdade que queremos provar:
Precisamos mostrar que:

Passo 5

Subtraindo de ambos os lados, temos:
Simplificando:

Passo 6

Agora, fatoramos a expressão quadrática:
Queremos que:
Para , ambos os fatores e são positivos, então a multiplicação deles também é positiva:
Portanto:

Resposta

Assim, por indução matemática, provamos que para todo , é verdadeiro.

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