Seja a função . Determine o domínio e a imagem de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente tem a função . O que a gente precisa descobrir é o domínio e a imagem dessa função.
Domínio é o conjunto de todos os valores possíveis de e que fazem a função existir, ou seja, onde ela está “valida”. Já a imagem é o conjunto de todos os possíveis resultados que a função pode dar quando usamos os valores do domínio.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre raízes quadradas e as restrições que elas impõem nas funções.

Passo 2

Vamos começar pelo domínio. A gente tem uma raiz quadrada na função, . Lembre-se que dentro de uma raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero, porque a raiz de um número negativo não é um número real.
Então, a gente tem que garantir que:

Passo 3

Agora, vamos analisar essa inequação. Sabemos que e são sempre maiores ou iguais a zero, porque ao elevar um número ao quadrado, seja positivo ou negativo, o resultado é positivo.
Multiplicando o por 3, a gente ainda tem um número maior ou igual a zero:
Portanto, a inequação é sempre verdadeira para qualquer valor real de e .

Passo 4

Isso significa que não há restrições para os valores de e . Toda dupla de números reais vai satisfazer a condição da raiz quadrada.
Então, o domínio da função é todo o conjunto dos números reais para e :
í
Ou seja, qualquer valor real de e é válido.

Passo 5

Agora, vamos para a imagem da função. Queremos descobrir todos os possíveis valores que pode assumir. A função é:
Vamos analisar o que acontece com conforme varia.

Passo 6

Sabemos que é sempre maior ou igual a zero, já que é uma raiz quadrada. Então, temos:
Logo,
Ou seja, nunca vai ser maior que 2.

Passo 7

Agora, vamos ver qual é o menor valor que pode assumir. Quanto maior for , menor será .
Tecnicamente, pode crescer sem limites, já que e podem ser muito grandes. Portanto, pode se tornar infinitamente negativo. Porém, na prática, estamos lidando com números reais, então dizemos que pode ir até menos infinito.

Passo 8

Juntando tudo, a imagem da função é todos os números reais menores ou iguais a 2. Em notação matemática:

Resposta

Domínio: (todos os números reais para e )
Imagem:

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Prove por indução finita que
Demonstre que:
g)
Converta os números abaixo para as bases de sistemas binários e decimal:
b)
Escreva no sistema de base 12 .