Seja a função
. Determine o domínio e a imagem de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente tem a função
. O que a gente precisa descobrir é o domínio e a imagem dessa função.
Domínio é o conjunto de todos os valores possíveis de
e
que fazem a função existir, ou seja, onde ela está “valida”. Já a imagem é o conjunto de todos os possíveis resultados que a função pode dar quando usamos os valores do domínio.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre raízes quadradas e as restrições que elas impõem nas funções.
Passo 2
Vamos começar pelo domínio. A gente tem uma raiz quadrada na função,
. Lembre-se que dentro de uma raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero, porque a raiz de um número negativo não é um número real.
Então, a gente tem que garantir que:
Passo 3
Agora, vamos analisar essa inequação. Sabemos que
e
são sempre maiores ou iguais a zero, porque ao elevar um número ao quadrado, seja positivo ou negativo, o resultado é positivo.
Multiplicando o
por 3, a gente ainda tem um número maior ou igual a zero:
Portanto, a inequação
é sempre verdadeira para qualquer valor real de
e
.
Passo 4
Isso significa que não há restrições para os valores de
e
. Toda dupla de números reais
vai satisfazer a condição da raiz quadrada.
Então, o domínio da função
é todo o conjunto dos números reais para
e
:
Ou seja, qualquer valor real de
e
é válido.
Passo 5
Agora, vamos para a imagem da função. Queremos descobrir todos os possíveis valores que
pode assumir. A função é:
Vamos analisar o que acontece com
conforme
varia.
Passo 6
Sabemos que
é sempre maior ou igual a zero, já que é uma raiz quadrada. Então, temos:
Logo,
Ou seja,
nunca vai ser maior que 2.
Passo 7
Agora, vamos ver qual é o menor valor que
pode assumir. Quanto maior for
, menor será
.
Tecnicamente,
pode crescer sem limites, já que
e
podem ser muito grandes. Portanto,
pode se tornar infinitamente negativo. Porém, na prática, estamos lidando com números reais, então dizemos que
pode ir até menos infinito.
Passo 8
Juntando tudo, a imagem da função
é todos os números reais menores ou iguais a 2. Em notação matemática:
Resposta
Domínio:
(todos os números reais para
e
)
Imagem:
Imagem:
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Prove por indução finita que
Demonstre que:
g)
g)
Converta os números abaixo para as bases de sistemas binários e decimal:
b)
b)
Escreva
no sistema de base 12 .