Resolva os limites abaixo:
lim t pi2 pi2-tcos (t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim t pi2 pi2-tcos (t)
Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções se comportam perto do ponto de interesse e usar uma técnica chamada Regra de L’Hospital.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando se aproxima de :
  • Numerador: tende a 0 porque está se aproximando de .
  • Denominador: também tende a 0 porque .
Então, temos uma forma indeterminada do tipo , o que significa que podemos usar a Regra de L’Hospital.

Passo 3

A Regra de L’Hospital nos diz que se limx to c f(x)g(x) = limx to c f'(x)g'(x) resulta em uma forma indeterminada ou , então podemos calcular o limite derivando o numerador e o denominador separadamente:
Aplicando isso ao nosso limite:
  • Derivada do numerador é .
  • Derivada do denominador é .

Passo 4

Agora, substituímos as derivadas no limite:
lim t pi2 f'(t)g'(t) = lim t pi2 -1- sin(t) = lim t pi2 1sin(t)
Sabemos que lim t pi2 1sin(t) = 11 = 1, então:

Resposta

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