Resolva os limites abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções se comportam perto do ponto de interesse e usar uma técnica chamada Regra de L’Hospital.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando
se aproxima de
:
- Numerador:
tende a 0 porque está se aproximando de . - Denominador:
também tende a 0 porque .
Então, temos uma forma indeterminada do tipo
, o que significa que podemos usar a Regra de L’Hospital.
Passo 3
A Regra de L’Hospital nos diz que se
resulta em uma forma indeterminada
ou
, então podemos calcular o limite derivando o numerador e o denominador separadamente:
Aplicando isso ao nosso limite:
- Derivada do numerador
é . - Derivada do denominador
é .
Passo 4
Agora, substituímos as derivadas no limite:
Sabemos que
, então:
Resposta
Exercícios relacionados
Resolva os limites abaixo:
Seja
. Verifique a continuidade de
em
. No caso de
ser descontínua verifique a possibilidade de torná-la contínua.
Prove por indução matemática que se
, então
.
Resolva os limites abaixo: