Resolva os limites abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções se comportam perto do ponto de interesse e usar uma técnica chamada Regra de L’Hospital.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando se aproxima de :
  • Numerador: tende a 0 porque está se aproximando de .
  • Denominador: também tende a 0 porque .
Então, temos uma forma indeterminada do tipo , o que significa que podemos usar a Regra de L’Hospital.

Passo 3

A Regra de L’Hospital nos diz que se resulta em uma forma indeterminada ou , então podemos calcular o limite derivando o numerador e o denominador separadamente:
Aplicando isso ao nosso limite:
  • Derivada do numerador é .
  • Derivada do denominador é .

Passo 4

Agora, substituímos as derivadas no limite:
Sabemos que , então:

Resposta

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Resolva os limites abaixo:
Seja . Verifique a continuidade de em . No caso de ser descontínua verifique a possibilidade de torná-la contínua.
Prove por indução matemática que se , então .
Resolva os limites abaixo: