Prove por indução que, para qualquer n in N : 12+12^2+12^3+cdots+12^n=1-12^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa provar que, para qualquer número natural , a soma da série é igual a . Para isso, vamos usar o método de indução matemática, que é uma técnica para provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é indução matemática. É tipo escalar uma escada: a gente prova que o primeiro degrau está lá (base da indução) e que, se um degrau está lá, o próximo também está (passo indutivo). Se conseguir mostrar esses dois, então todos os degraus estarão lá!

Passo 3

Começando pela base da indução, vamos verificar se a fórmula funciona para 12 = 1 - 12^1 = 1 - 12 = 12 . Substituindo na série:
Então, para , a igualdade é verdadeira.

Passo 4

Agora, vamos para o passo indutivo. Vamos supor que a fórmula é verdadeira para um certo 12 + 12^2 + cdots + 12^k = 1 - 12^k , ou seja:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.

Passo 5

Com a hipótese de indução, queremos mostrar que a fórmula também é válida para 12 + 12^2 + cdots + 12^k + 12^k+1 . Vamos somar o próximo termo da série:
1 - 12^k + 12^k+1
Usando a hipótese de indução, substituímos a soma até :

Passo 6

Agora, simplificamos a expressão:
1 - 12^k + 12^k+1 = 1 - ( 12^k - 12^k+1 ) = 1 - 12^k (1 - 12 ) = 1 - 12^k cdot 12 = 1 - 12^k+1
Então, mostramos que se a fórmula é verdadeira para , ela também é para .

Resposta

Assim, por indução matemática, provamos que para todo , a soma é igual a .

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