Prove por indução que, para qualquer
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa provar que, para qualquer número natural
, a soma da série
é igual a
. Para isso, vamos usar o método de indução matemática, que é uma técnica para provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é indução matemática. É tipo escalar uma escada: a gente prova que o primeiro degrau está lá (base da indução) e que, se um degrau está lá, o próximo também está (passo indutivo). Se conseguir mostrar esses dois, então todos os degraus estarão lá!
Passo 3
Começando pela base da indução, vamos verificar se a fórmula funciona para
. Substituindo na série:
Então, para
, a igualdade é verdadeira.
Passo 4
Agora, vamos para o passo indutivo. Vamos supor que a fórmula é verdadeira para um certo
, ou seja:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.
Passo 5
Com a hipótese de indução, queremos mostrar que a fórmula também é válida para
. Vamos somar o próximo termo da série:
Usando a hipótese de indução, substituímos a soma até
:
Passo 6
Agora, simplificamos a expressão:
Então, mostramos que se a fórmula é verdadeira para
, ela também é para
.
Resposta
Assim, por indução matemática, provamos que para todo
, a soma
é igual a
.
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