Prove por indução que, para qualquer n in N : 2+4+6+cdots+2 n=n(n+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa provar, usando indução matemática, que a soma dos primeiros n números pares é igual a n(n+1). Isso significa que se somarmos 2 + 4 + 6 + cdots + 2n, o resultado vai ser exatamente n(n+1). Para resolver isso, vamos usar o princípio da indução matemática, que é uma técnica poderosa para demonstrar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a afirmação vale para n = 1. Isso é o que chamamos de caso base na indução.
Para n = 1:
2 = 1(1 + 1) 2 = 2
Viu só? Está certinho! A igualdade vale para n = 1.

Passo 3

Agora, vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum número natural k. Ou seja, vamos assumir que:
2 + 4 + 6 + cdots + 2k = k(k + 1)
Essa suposição é chamada de hipótese de indução. Ela vai nos ajudar a provar que a afirmação também vale para k + 1.

Passo 4

Nosso próximo passo é mostrar que, se a suposição é verdadeira para k, então ela também é verdadeira para k + 1. Vamos calcular a soma dos primeiros k + 1 números pares:
2 + 4 + 6 + cdots + 2k + 2(k + 1)
Pela hipótese de indução, sabemos que:
2 + 4 + 6 + cdots + 2k = k(k + 1)
Então, substituindo na expressão:
k(k + 1) + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2)
Isso mostra que a soma para k + 1 também segue a fórmula n(n + 1).

Passo 5

Como provamos que a afirmação vale para n = 1 e que, se valer para n = k, também vale para n = k + 1, por indução matemática, concluímos que a soma dos primeiros n números pares é igual a n(n + 1) para todo n in N.

Resposta

Portanto, para qualquer n in N, temos que:
2 + 4 + 6 + cdots + 2n = n(n + 1)

Exercícios relacionados

Prove por indução que, para qualquer n in N : 1^2+3^2+5^2+cdots+(2 n-1)^2=n(2 n-1)(2 n+1)3
Prove por indução que, para qualquer n in N : 1+3+6+cdots+n(n+1)2=n(n+1)(n+2)6
Prove por indução que, para qualquer n in N : 1(3)+2(4)+3(5)+cdots+n(n+2)=n(n+1)(2 n+7)6
Prove por indução que, para qualquer n in N : 12+12^2+12^3+cdots+12^n=1-12^n