Prove por indução que, para qualquer
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa provar, usando indução matemática, que a soma dos primeiros
números pares é igual a
. Isso significa que se somarmos
, o resultado vai ser exatamente
. Para resolver isso, vamos usar o princípio da indução matemática, que é uma técnica poderosa para demonstrar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a afirmação vale para
. Isso é o que chamamos de caso base na indução.
Para
:
Viu só? Está certinho! A igualdade vale para
.
Passo 3
Agora, vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum número natural
. Ou seja, vamos assumir que:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução. Ela vai nos ajudar a provar que a afirmação também vale para
.
Passo 4
Nosso próximo passo é mostrar que, se a suposição é verdadeira para
, então ela também é verdadeira para
. Vamos calcular a soma dos primeiros
números pares:
Pela hipótese de indução, sabemos que:
Então, substituindo na expressão:
Isso mostra que a soma para
também segue a fórmula
.
Passo 5
Como provamos que a afirmação vale para
e que, se valer para
, também vale para
, por indução matemática, concluímos que a soma dos primeiros
números pares é igual a
para todo
.
Resposta
Portanto, para qualquer
, temos que:
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