Prove por indução que, para qualquer
:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma soma que segue o padrão
e queremos provar, usando indução matemática, que essa soma é igual a
para qualquer número natural
.
Conteúdo envolvido: Indução matemática, somatórios e manipulação algébrica.
Para resolver, precisamos verificar a base da indução (quando
) e então assumir que a fórmula vale para algum
e provar que também vale para
.
Passo 2
Base da Indução: Vamos testar para
.
Calculando a soma:
Calculando a fórmula:
Como os dois lados são iguais (
), a base da indução está confirmada.
Passo 3
Hipótese de Indução: Vamos supor que a fórmula é válida para
, ou seja:
Queremos provar que, sob essa suposição, a fórmula também vale para
.
Passo 4
Passo Indutivo: Vamos somar o próximo termo da sequência, que é
, à soma para
.
Isso dá:
Passo 5
Simplificando a expressão: Vamos fatorar
e simplificar a soma.
Passo 6
Fatorando o numerador: Vamos fatorar
.
Então:
Passo 7
Comparando com a fórmula: Queremos que isso seja igual a
.
Calculando:
Então:
Isso confirma que a fórmula vale para
.
Resposta
Assim, usando indução matemática, provamos que para todo
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