Prove por indução que, para qualquer n in N : 1(3)+2(4)+3(5)+cdots+n(n+2)=n(n+1)(2 n+7)6

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma soma que segue o padrão e queremos provar, usando indução matemática, que essa soma é igual a para qualquer número natural .
Conteúdo envolvido: Indução matemática, somatórios e manipulação algébrica.
Para resolver, precisamos verificar a base da indução (quando ) e então assumir que a fórmula vale para algum e provar que também vale para .

Passo 2

Base da Indução: Vamos testar para 1 times 3 = 3 .
Calculando a soma:
1(1+1)(2 times 1 + 7)6 = 1 times 2 times 96 = 186 = 3
Calculando a fórmula:
Como os dois lados são iguais ( ), a base da indução está confirmada.

Passo 3

Hipótese de Indução: Vamos supor que a fórmula é válida para 1 times 3 + 2 times 4 + 3 times 5 + cdots + k(k+2) = k(k+1)(2k+7)6 , ou seja:
Queremos provar que, sob essa suposição, a fórmula também vale para .

Passo 4

Passo Indutivo: Vamos somar o próximo termo da sequência, que é 1 times 3 + 2 times 4 + cdots + k(k+2) + (k+1)(k+3) = k(k+1)(2k+7)6 + (k+1)(k+3) , à soma para .
Isso dá:

Passo 5

Simplificando a expressão: Vamos fatorar k(k+1)(2k+7)6 + (k+1)(k+3) = (k+1) ( k(2k+7)6 + (k+3) ) e simplificar a soma.
= (k+1) ( k(2k+7) + 6(k+3)6 )
= (k+1) ( 2k^2 + 7k + 6k + 186 )
= (k+1) ( 2k^2 + 13k + 186 )

Passo 6

Fatorando o numerador: Vamos fatorar 2k^2 + 13k + 18 = (2k + 9)(k + 2) .
(k+1) ( (2k + 9)(k + 2)6 ) = (k+1)(k+2)(2k+9)6
Então:

Passo 7

Comparando com a fórmula: Queremos que isso seja igual a 2(k+1) + 7 = 2k + 2 + 7 = 2k + 9 .
Calculando:
(k+1)(k+2)(2k+9)6 = (k+1)(k+2)(2(k+1)+7)6
Então:
Isso confirma que a fórmula vale para .

Resposta

Assim, usando indução matemática, provamos que para todo 1 times 3 + 2 times 4 + 3 times 5 + cdots + n(n+2) = n(n+1)(2n+7)6 :

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