Prove por indução que, para qualquer
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me passou pede para provar uma fórmula que soma os quadrados dos números ímpares até o número
. Isso faz parte do conteúdo de matemática, mais especificamente prova por indução matemática. Para resolver, vamos precisar entender como funciona a indução matemática e aplicar essa técnica passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a fórmula funciona para
. Isso é o caso base da nossa indução.
Quando
, a soma dos quadrados dos números ímpares é apenas
.
Agora, vamos ver o lado direito da equação:
Como ambos os lados são iguais (1 = 1), a base da indução está confirmada!
Passo 3
Agora, vamos para o passo indutivo. Vamos supor que a fórmula funciona para algum número inteiro
, ou seja, assumimos que:
Nossa meta é mostrar que, se isso é verdade para
, então também é verdade para
. Vamos adicionar o próximo termo da soma, que é
, à nossa suposição:
Vamos simplificar a expressão à direita:
Agora, factoramos
:
Vamos simplificar dentro dos colchetes:
Agora, vamos fatorar
:
Então, a expressão fica:
E isso é o mesmo que:
Ou seja,
Isso confirma que a fórmula também é válida para
.
Resposta
Portanto, por indução matemática, para qualquer
,
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