Prove por indução que, para qualquer n in N : 1^2+3^2+5^2+cdots+(2 n-1)^2=n(2 n-1)(2 n+1)3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me passou pede para provar uma fórmula que soma os quadrados dos números ímpares até o número . Isso faz parte do conteúdo de matemática, mais especificamente prova por indução matemática. Para resolver, vamos precisar entender como funciona a indução matemática e aplicar essa técnica passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a fórmula funciona para 1(2 times 1 - 1)(2 times 1 + 1)3 = 1 times 1 times 33 = 1 . Isso é o caso base da nossa indução.
Quando , a soma dos quadrados dos números ímpares é apenas .
Agora, vamos ver o lado direito da equação:
Como ambos os lados são iguais (1 = 1), a base da indução está confirmada!

Passo 3

Agora, vamos para o passo indutivo. Vamos supor que a fórmula funciona para algum número inteiro 1^2 + 3^2 + 5^2 + cdots + (2k - 1)^2 = k(2k - 1)(2k + 1)3 , ou seja, assumimos que:
1^2 + 3^2 + 5^2 + cdots + (2k - 1)^2 + (2k + 1)^2 = k(2k - 1)(2k + 1)3 + (2k + 1)^2
Nossa meta é mostrar que, se isso é verdade para k(2k - 1)(2k + 1)3 + (2k + 1)^2 = k(2k - 1)(2k + 1) + 3(2k + 1)^23 , então também é verdade para = (2k + 1)[k(2k - 1) + 3(2k + 1)]3 . Vamos adicionar o próximo termo da soma, que é k(2k - 1) + 3(2k + 1) = 2k^2 - k + 6k + 3 = 2k^2 + 5k + 3 , à nossa suposição:
2k^2 + 5k + 3 = (2k + 3)(k + 1)
Vamos simplificar a expressão à direita:
(2k + 1)(2k + 3)(k + 1)3
Agora, factoramos (k + 1)(2(k + 1) - 1)(2(k + 1) + 1)3 :
(k + 1)(2k + 1)(2k + 3)3
Vamos simplificar dentro dos colchetes:
Agora, vamos fatorar :
Então, a expressão fica:
E isso é o mesmo que:
Ou seja,
Isso confirma que a fórmula também é válida para .

Resposta

Portanto, por indução matemática, para qualquer 1^2 + 3^2 + 5^2 + cdots + (2n - 1)^2 = n(2n - 1)(2n + 1)3 ,

Exercícios relacionados

Prove por indução que, para qualquer n in N : 1+3+6+cdots+n(n+1)2=n(n+1)(n+2)6
Prove por indução que, para qualquer n in N : 1(2^0)+2(2^1)+3(2^2)+cdots+n(2^n-1)=1+(n-1) 2^n
Prove por indução que, para qualquer n in N : 2+4+6+cdots+2 n=n(n+1)
Prove por indução que, para qualquer n in N : 1(3)+2(4)+3(5)+cdots+n(n+2)=n(n+1)(2 n+7)6