Usando a representação integral de Fourier, mostre que: b) $\int_{0}^{\infty} \frac{\cos \left(\frac{\pi \alpha}{2}\right) \cos (\alpha x)}{1-\alpha^{2}} d \alpha= \begin{cases}\frac{\pi}{2} \cos (x), & \text { se }|x|<\frac{\pi}{2} \\ 0, & \text { se }|x|>\frac{\pi}{2}\end{cases}$

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar a representação integral de Fourier para mostrar que a integral
é igual a quando e igual a quando . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais de funções trigonométricas e sobre a transformada de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que o produto de cossenos pode ser escrito como:
Aplicando isso na nossa integral:
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos dividir a integral em duas partes:
Para resolver essas integrais, precisamos lembrar que elas estão relacionadas às transformadas de Fourier de funções racionais.

Passo 4

Observamos que o denominador sugere que podemos usar frações parciais para simplificar a expressão. Mas, nesse caso, é mais eficiente reconhecer que a integral tem uma forma que se relaciona com distribuições (como a função delta de Dirac) devido aos pólos no denominador.
Sem entrar muito na teoria avançada, podemos usar a propriedade de que integrais envolvendo sobre levam a funções que “selecionam” valores específicos de .

Passo 5

Aplicando essa ideia, podemos concluir que cada uma das integrais resulta em uma contribuição que depende de . Especificamente, isso implica que a integral total será não nula apenas quando , ou seja, quando .

Passo 6

Finalmente, combinando tudo, concluímos que a integral original vale:

Resposta

Exercícios relacionados

Usando a representação integral de Fourier, mostre que:
a)
Prove que e .
<html><head></head><body><div>Represente por uma integral cosseno ou uma integral seno adequada.<br>
a) <span class=“math-inline “>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -5.317ex;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“24.701ex” height=“11.765ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -2850 10917.7 5200”><title>f(x) = { 0, se x < -1; -5, se 1 < x < 0; 5, se 0 < x < 1; 0, se x > 1 }</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 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36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(849.8,0)”><path data-c=“3C” d=“M694 -11T694 -19T688 -33T678 -40Q671 -40 524 29T234 166L90 235Q83 240 83 250Q83 261 91 266Q664 540 678 540Q681 540 687 534T694 519T687 505Q686 504 417 376L151 250L417 124Q686 -4 687 -5Q694 -11 694 -19Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(1905.6,0)”><path data-c=“2212” d=“M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z”></path></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(2683.6,0)”><path data-c=“31” d=“M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z”></path></g></g></g><g data-mml-node=“mtr” 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