Usando a representação integral de Fourier, mostre que:
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar a representação integral de Fourier para mostrar que a integral
é igual a
quando
e igual a
quando
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais de funções trigonométricas e sobre a transformada de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que o produto de cossenos pode ser escrito como:
Aplicando isso na nossa integral:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos dividir a integral em duas partes:
Para resolver essas integrais, precisamos lembrar que elas estão relacionadas às transformadas de Fourier de funções racionais.
Passo 4
Observamos que o denominador
sugere que podemos usar frações parciais para simplificar a expressão. Mas, nesse caso, é mais eficiente reconhecer que a integral tem uma forma que se relaciona com distribuições (como a função delta de Dirac) devido aos pólos no denominador.
Sem entrar muito na teoria avançada, podemos usar a propriedade de que integrais envolvendo
sobre
levam a funções que “selecionam” valores específicos de
.
Passo 5
Aplicando essa ideia, podemos concluir que cada uma das integrais resulta em uma contribuição que depende de
. Especificamente, isso implica que a integral total será não nula apenas quando
, ou seja, quando
.
Passo 6
Finalmente, combinando tudo, concluímos que a integral original vale: