Verifique quais das funções abaixo são soluções da equação das ondas , para alguma escolha conveniente de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a função satisfaz a equação das ondas para algum valor de . A equação das ondas descreve como ondas se propagam no espaço e no tempo, e precisamos ver se essa função específica se encaixa nessa descrição. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas segunda em relação ao tempo ( ) e segunda em relação ao espaço ( ) da função .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada segunda de em relação ao tempo ( ), ou seja, . A função dada é . A derivada de em relação a é , e a segunda derivada é . Como é apenas um multiplicador constante em relação ao , temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada segunda de em relação ao espaço ( ), ou seja, . A função tem derivada primeira e derivada segunda . Como é constante em relação a , temos:

Passo 4

Agora que temos e , vamos substituir na equação das ondas :
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por (desde que ):
Resolvendo para :

Resposta

Como não pode ser negativo (já que é uma velocidade real), não existe um valor real de que satisfaça a equação das ondas para a função . Portanto, essa função não é solução da equação das ondas para nenhum valor real de .

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