Verifique quais das funções abaixo são soluções da equação das ondas
, para alguma escolha conveniente de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a função
satisfaz a equação das ondas
para algum valor de
. A equação das ondas descreve como ondas se propagam no espaço e no tempo, e precisamos ver se essa função específica se encaixa nessa descrição. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas segunda em relação ao tempo (
) e segunda em relação ao espaço (
) da função
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada segunda de
em relação ao tempo (
), ou seja,
. A função dada é
. A derivada de
em relação a
é
, e a segunda derivada é
. Como
é apenas um multiplicador constante em relação ao
, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada segunda de
em relação ao espaço (
), ou seja,
. A função
tem derivada primeira
e derivada segunda
. Como
é constante em relação a
, temos:
Passo 4
Agora que temos
e
, vamos substituir na equação das ondas
:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
(desde que
):
Resolvendo para
:
Resposta
Como
não pode ser negativo (já que
é uma velocidade real), não existe um valor real de
que satisfaça a equação das ondas para a função
. Portanto, essa função não é solução da equação das ondas para nenhum valor real de
.
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.
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, se
.
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. Dica: se
, então
.