Seja
uma função diferenciável
, com
. Prove que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me passou pede para provar um limite envolvendo uma função diferenciável. Especificamente, temos uma função
que é diferenciável em um ponto
e com
. Precisamos mostrar que:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites, derivadas e funções exponenciais. Vamos precisar entender como a função se comporta perto do ponto
e aplicar a definição de derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do que significa a função ser diferenciável em
. Isso quer dizer que podemos aproximar
quando
é bem pequeno, usando a fórmula:
Aqui,
é a derivada de
em
, e
é uma pequena variação em torno de
.
Passo 3
No nosso caso, temos
, que fica cada vez menor quando
cresce. Então podemos escrever:
Isso nos permite aproximar a expressão dentro do limite.
Passo 4
Vamos agora substituir essa aproximação na expressão original do limite:
Passo 5
A expressão que temos agora é do tipo
, onde
. Sabemos que, quando
tende ao infinito, essa expressão se aproxima de
:
Passo 6
Aplicando isso ao nosso caso, temos:
Resposta
Portanto,
Exercícios relacionados
Seja
uma função não identicamente nula que cumpre a seguinte relação:
.
(a) Se for diferenciável, então
, onde
é constante.
(b) Se for contínua, então
, onde
é constante.
(a) Se
(b) Se
Calcule os limites a seguir.
c)
c)
Calcule os limites a seguir.
c)
c)
Prove que
existe.