Seja uma função diferenciável , com . Prove que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me passou pede para provar um limite envolvendo uma função diferenciável. Especificamente, temos uma função que é diferenciável em um ponto e com . Precisamos mostrar que:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites, derivadas e funções exponenciais. Vamos precisar entender como a função se comporta perto do ponto e aplicar a definição de derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que significa a função ser diferenciável em . Isso quer dizer que podemos aproximar quando é bem pequeno, usando a fórmula:
Aqui, é a derivada de em , e é uma pequena variação em torno de .

Passo 3

No nosso caso, temos , que fica cada vez menor quando cresce. Então podemos escrever:
Isso nos permite aproximar a expressão dentro do limite.

Passo 4

Vamos agora substituir essa aproximação na expressão original do limite:

Passo 5

A expressão que temos agora é do tipo , onde . Sabemos que, quando tende ao infinito, essa expressão se aproxima de :

Passo 6

Aplicando isso ao nosso caso, temos:

Resposta

Portanto,

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Seja uma função não identicamente nula que cumpre a seguinte relação: .
(a) Se for diferenciável, então , onde é constante.
(b) Se for contínua, então , onde é constante.
Calcule os limites a seguir.
c)
Calcule os limites a seguir.
c)
Prove que existe.