Seja f: R R uma função diferenciável em a in R, com f(a) neq 0. Prove que
lim n infty(f(a+1n)f(a))^n=exp (f^prime(a)f(a))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me passou pede para provar um limite envolvendo uma função diferenciável. Especificamente, temos uma função lim n infty(f(a+1n)f(a))^n=exp (f^prime(a)f(a)) que é diferenciável em um ponto e com . Precisamos mostrar que:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites, derivadas e funções exponenciais. Vamos precisar entender como a função se comporta perto do ponto e aplicar a definição de derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que significa a função ser diferenciável em f(a + h) approx f(a) + h f'(a) . Isso quer dizer que podemos aproximar quando é bem pequeno, usando a fórmula:
Aqui, é a derivada de em , e é uma pequena variação em torno de .

Passo 3

No nosso caso, temos f(a + 1n) approx f(a) + 1n f'(a) , que fica cada vez menor quando cresce. Então podemos escrever:
Isso nos permite aproximar a expressão dentro do limite.

Passo 4

Vamos agora substituir essa aproximação na expressão original do limite:
(f(a+1n)f(a))^n approx (f(a) + 1n f'(a)f(a))^n = (1 + f'(a)n f(a))^n

Passo 5

A expressão que temos agora é do tipo limn to infty (1 + kn)^n = e^k , onde . Sabemos que, quando tende ao infinito, essa expressão se aproxima de :

Passo 6

Aplicando isso ao nosso caso, temos:
limn to infty (1 + f'(a)n f(a))^n = e^f'(a)f(a)

Resposta

Portanto,
lim n infty(f(a+1n)f(a))^n = exp (f^prime(a)f(a))

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