Prove que:
.
Passo 1
Então, a gente precisa provar que quando o número
cresce sem parar, a raiz
-ésima de 2 se aproxima de 1. Aqui, estamos lidando com limites em matemática, e para resolver isso, vamos utilizar um pouco de álgebra e propriedades de exponenciação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão
de uma forma que seja mais fácil de trabalhar. Sabemos que
é o mesmo que
. Assim, nossa expressão fica:
Passo 3
Agora, vamos lembrar que
pode ser reescrito usando a função exponencial e o logaritmo natural. A fórmula é:
Isso porque
.
Passo 4
Com essa representação, nossa expressão original fica:
Sabemos que o limite de uma expoente é o expoente do limite, desde que o limite exista. Então, precisamos calcular:
Passo 5
Observando
, vemos que conforme
cresce para infinito,
diminui para 0. Portanto:
Passo 6
Voltando à nossa expressão com o exponencial:
Resposta
Portanto,
.
Exercícios relacionados
Seja
. Localizar a raiz em um intervalo de comprimento 0.5.
Considere a sequência de números reais definida por:
Escreva
em função de
.
Seja
. Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.
Seja
. Localizar a raiz em um intervalo de comprimento 0.5.