Prove que:
.

Passo 1

Então, a gente precisa provar que quando o número cresce sem parar, a raiz -ésima de 2 se aproxima de 1. Aqui, estamos lidando com limites em matemática, e para resolver isso, vamos utilizar um pouco de álgebra e propriedades de exponenciação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão de uma forma que seja mais fácil de trabalhar. Sabemos que é o mesmo que . Assim, nossa expressão fica:

Passo 3

Agora, vamos lembrar que pode ser reescrito usando a função exponencial e o logaritmo natural. A fórmula é:
Isso porque .

Passo 4

Com essa representação, nossa expressão original fica:
Sabemos que o limite de uma expoente é o expoente do limite, desde que o limite exista. Então, precisamos calcular:

Passo 5

Observando , vemos que conforme cresce para infinito, diminui para 0. Portanto:

Passo 6

Voltando à nossa expressão com o exponencial:

Resposta

Portanto, .

Exercícios relacionados

Seja . Localizar a raiz em um intervalo de comprimento 0.5.
Considere a sequência de números reais definida por:
Escreva em função de .
Seja . Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.
Seja . Localizar a raiz em um intervalo de comprimento 0.5.