Prove que:
lim n infty raiz[n]2=1.

Passo 1

Então, a gente precisa provar que quando o número cresce sem parar, a raiz -ésima de 2 se aproxima de 1. Aqui, estamos lidando com limites em matemática, e para resolver isso, vamos utilizar um pouco de álgebra e propriedades de exponenciação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão limn to infty 2^1/n de uma forma que seja mais fácil de trabalhar. Sabemos que é o mesmo que . Assim, nossa expressão fica:

Passo 3

Agora, vamos lembrar que 2^1/n = e^ln(2)/n pode ser reescrito usando a função exponencial e o logaritmo natural. A fórmula é:
Isso porque .

Passo 4

Com essa representação, nossa expressão original fica:
limn to infty e^ln(2)/n
Sabemos que o limite de uma expoente é o expoente do limite, desde que o limite exista. Então, precisamos calcular:
limn to infty ln(2)n

Passo 5

Observando limn to infty ln(2)n = 0 , vemos que conforme cresce para infinito, diminui para 0. Portanto:

Passo 6

Voltando à nossa expressão com o exponencial:
limn to infty e^ln(2)/n = e^0 = 1

Resposta

Portanto, .

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