Seja
. Localizar a raiz em um intervalo de comprimento 0.5.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra encontrar um valor de
que faz a função
igual a zero, ou seja,
. Isso significa que a gente quer achar a raiz dessa função. Vamos precisar usar o Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a saber se existe uma raiz em determinado intervalo, e pra isso, vamos olhar a função em alguns pontos para ver onde ela muda de sinal.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor de
em alguns pontos para ver onde ela pode estar mudando de sinal. Vamos começar com
:
Então,
.
Passo 3
Agora, vamos calcular
em
:
Então,
.
Passo 4
Observamos que em
,
e em
,
. A função passou de negativa para positiva nesse intervalo. Segundo o Teorema do Valor Intermediário, isso significa que existe pelo menos uma raiz entre 0 e 1, porque a função mudou de sinal.
Passo 5
Como o intervalo de 0 a 1 tem comprimento 1, que é maior que 0.5, vamos dividir esse intervalo para encontrar um subintervalo de comprimento 0.5 onde a raiz está localizada. Vamos testar o ponto médio, que é
:
Então,
.
Passo 6
Agora, analisamos dois subintervalos:
- De
a : e – ambos negativos, não há mudança de sinal. - De
a : e – a função muda de negativa para positiva.
Então, a raiz está no intervalo de
a
, que tem comprimento 0.5.
Resposta
A raiz da função
está no intervalo
.
Exercícios relacionados
Considere a sequência de números reais definida por:
Escreva
em função de
.
Seja
. Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.
Prove que:
.
Seja
. Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.