Seja . Localizar a raiz em um intervalo de comprimento 0.5.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra encontrar um valor de que faz a função igual a zero, ou seja, . Isso significa que a gente quer achar a raiz dessa função. Vamos precisar usar o Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a saber se existe uma raiz em determinado intervalo, e pra isso, vamos olhar a função em alguns pontos para ver onde ela muda de sinal.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de em alguns pontos para ver onde ela pode estar mudando de sinal. Vamos começar com :
Então, .

Passo 3

Agora, vamos calcular em :
Então, .

Passo 4

Observamos que em , e em , . A função passou de negativa para positiva nesse intervalo. Segundo o Teorema do Valor Intermediário, isso significa que existe pelo menos uma raiz entre 0 e 1, porque a função mudou de sinal.

Passo 5

Como o intervalo de 0 a 1 tem comprimento 1, que é maior que 0.5, vamos dividir esse intervalo para encontrar um subintervalo de comprimento 0.5 onde a raiz está localizada. Vamos testar o ponto médio, que é :
Então, .

Passo 6

Agora, analisamos dois subintervalos:
  1. De a : e – ambos negativos, não há mudança de sinal.
  2. De a : e – a função muda de negativa para positiva.
Então, a raiz está no intervalo de a , que tem comprimento 0.5.

Resposta

A raiz da função está no intervalo .

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Considere a sequência de números reais definida por:
Escreva em função de .
Seja . Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.
Prove que:
.
Seja . Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.