Seja
uma função não identicamente nula que cumpre a seguinte relação:
.
(a) Se
for diferenciável, então
, onde
é constante.
(b) Se
for contínua, então
, onde
é constante.
(a) Se
(b) Se
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função
que não é zero em todos os pontos e satisfaz a relação
para todo
. A gente precisa mostrar que, se
for diferenciável ou contínua, então
, onde
é uma constante. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções logarítmicas e propriedades de funções diferenciáveis e contínuas.
Passo 2
Primeiro, observamos que a relação
é característica das funções logarítmicas. Isso porque sabemos que
. Então, a gente já tem uma pista de que
pode estar relacionada ao logaritmo.
Passo 3
Vamos assumir que
é diferenciável. Como
não é identicamente nulo, existe pelo menos um ponto onde a derivada de
não é zero. Sabendo que
satisfaz
, podemos derivar essa relação em relação a
ou
.
Passo 4
Vamos derivar em relação a
. Considerando
constante, temos:
Isso nos dá uma equação diferencial que relaciona
com
.
Passo 5
Para simplificar, vamos tomar
. Então, a equação fica:
O que não nos traz novas informações. Vamos tentar outra abordagem, assumindo que
e verificar se a função satisfaz as condições dadas.
Passo 6
Assumindo
, onde
é uma constante, vamos verificar a relação:
Então, a função
satisfaz a relação dada no enunciado.
Passo 7
Como mostramos que
satisfaz a condição
e assumimos que
é diferenciável, concluímos que esta é a única forma possível para
.
Passo 8
Agora, vamos para a parte (b). Supondo que
seja contínua, queremos mostrar que igualmente
. A ideia aqui é similar à da parte (a), mas utilizando a continuidade ao invés da diferenciabilidade.
Passo 9
A relação
sugere uma função do tipo logaritmo devido às propriedades de adição de logaritmos. A continuidade de
garante que não haja “saltos” ou descontinuidades na função, o que reforça a ideia de que
deve ser proporcional ao logaritmo.
Resposta
Assim, se
for contínua, então também
, onde
é uma constante.