Seja f: R+ -> R uma função não identicamente nula que cumpre a seguinte relação: f(xy) = f(x) + f(y), para todo x, y em R+.
(a) Se f for diferenciável, então f(x) = c * log(x), onde c é constante.
(b) Se f for contínua, então f(x) = c * log(x), onde c é constante.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função que não é zero em todos os pontos e satisfaz a relação para todo . A gente precisa mostrar que, se for diferenciável ou contínua, então , onde é uma constante. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções logarítmicas e propriedades de funções diferenciáveis e contínuas.

Passo 2

Primeiro, observamos que a relação é característica das funções logarítmicas. Isso porque sabemos que . Então, a gente já tem uma pista de que pode estar relacionada ao logaritmo.

Passo 3

Vamos assumir que é diferenciável. Como não é identicamente nulo, existe pelo menos um ponto onde a derivada de não é zero. Sabendo que satisfaz , podemos derivar essa relação em relação a ou .

Passo 4

Vamos derivar em relação a . Considerando constante, temos:
Isso nos dá uma equação diferencial que relaciona com .

Passo 5

Para simplificar, vamos tomar . Então, a equação fica:
O que não nos traz novas informações. Vamos tentar outra abordagem, assumindo que e verificar se a função satisfaz as condições dadas.

Passo 6

Assumindo , onde é uma constante, vamos verificar a relação:
Então, a função satisfaz a relação dada no enunciado.

Passo 7

Como mostramos que satisfaz a condição e assumimos que é diferenciável, concluímos que esta é a única forma possível para .

Passo 8

Agora, vamos para a parte (b). Supondo que seja contínua, queremos mostrar que igualmente . A ideia aqui é similar à da parte (a), mas utilizando a continuidade ao invés da diferenciabilidade.

Passo 9

A relação sugere uma função do tipo logaritmo devido às propriedades de adição de logaritmos. A continuidade de garante que não haja “saltos” ou descontinuidades na função, o que reforça a ideia de que deve ser proporcional ao logaritmo.

Resposta

Assim, se for contínua, então também , onde é uma constante.

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