Seja uma função não identicamente nula que cumpre a seguinte relação: .
(a) Se for diferenciável, então , onde é constante.
(b) Se for contínua, então , onde é constante.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função que não é zero em todos os pontos e satisfaz a relação para todo . A gente precisa mostrar que, se for diferenciável ou contínua, então , onde é uma constante. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções logarítmicas e propriedades de funções diferenciáveis e contínuas.
Passo 2
Primeiro, observamos que a relação é característica das funções logarítmicas. Isso porque sabemos que . Então, a gente já tem uma pista de que pode estar relacionada ao logaritmo.
Passo 3
Vamos assumir que é diferenciável. Como não é identicamente nulo, existe pelo menos um ponto onde a derivada de não é zero. Sabendo que satisfaz , podemos derivar essa relação em relação a ou .
Passo 4
Vamos derivar em relação a . Considerando constante, temos:
Isso nos dá uma equação diferencial que relaciona com .
Passo 5
Para simplificar, vamos tomar . Então, a equação fica:
O que não nos traz novas informações. Vamos tentar outra abordagem, assumindo que e verificar se a função satisfaz as condições dadas.
Passo 6
Assumindo , onde é uma constante, vamos verificar a relação:
Então, a função satisfaz a relação dada no enunciado.
Passo 7
Como mostramos que satisfaz a condição e assumimos que é diferenciável, concluímos que esta é a única forma possível para .
Passo 8
Agora, vamos para a parte (b). Supondo que seja contínua, queremos mostrar que igualmente . A ideia aqui é similar à da parte (a), mas utilizando a continuidade ao invés da diferenciabilidade.
Passo 9
A relação sugere uma função do tipo logaritmo devido às propriedades de adição de logaritmos. A continuidade de garante que não haja “saltos” ou descontinuidades na função, o que reforça a ideia de que deve ser proporcional ao logaritmo.
Resposta
Assim, se for contínua, então também , onde é uma constante.