Prove que log x=lim n infty(n2(x^1n-x^-1n)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que é igual ao limite quando vai para infinito de . Isso envolve conceitos de limites, logaritmos e exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como funções exponenciais se comportam quando a potência tende a zero e usar propriedades de logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever x^1n = e^ln xn e x^-1n = e^-ln xn e usando a base para facilitar os cálculos. Sabemos que , então:

Passo 3

Agora, substituímos essas expressões na fórmula original:
n2(e^ln xn - e^-ln xn)

Passo 4

Vamos lembrar que para valores pequenos de e^ln xn approx 1 + ln xn e e^-ln xn approx 1 - ln xn , a função pode ser aproximada por . Como tende ao infinito, tende a zero. Então, podemos aproximar:

Passo 5

Substituindo as aproxima��ões na expressão:
n2((1 + ln xn) - (1 - ln xn)) = n2(2 ln xn)

Passo 6

Simplificando a expressão:
n2 cdot 2 ln xn = ln x

Passo 7

Finalmente, ao calcular o limite quando limn infty n2(x^1n - x^-1n) = ln x tende ao infinito, a expressão simplificada já nos mostra que:

Resposta

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