Prove que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que é igual ao limite quando vai para infinito de . Isso envolve conceitos de limites, logaritmos e exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como funções exponenciais se comportam quando a potência tende a zero e usar propriedades de logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever e usando a base para facilitar os cálculos. Sabemos que , então:

Passo 3

Agora, substituímos essas expressões na fórmula original:

Passo 4

Vamos lembrar que para valores pequenos de , a função pode ser aproximada por . Como tende ao infinito, tende a zero. Então, podemos aproximar:

Passo 5

Substituindo as aproxima��ões na expressão:

Passo 6

Simplificando a expressão:

Passo 7

Finalmente, ao calcular o limite quando tende ao infinito, a expressão simplificada já nos mostra que:

Resposta

Exercícios relacionados

Prove que a sequência , com é convergente.
Calcule os limites abaixo.
b)
Calcule.
m)
Se , defina pondo .
(a) Prove que .
(b) Prove que .
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