Prove que se é uma matriz quadrada cujas colunas somam 1 , então é um autovalor de . (Dica: considere e o vetor cujas coordenadas são todas iguais a 1 , e use o Exercício 9.)

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para provar que se é uma matriz quadrada cujas colunas somam 1, então é um autovalor de . Estamos lidando com álgebra linear, especificamente com autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos usar a transposta de , o vetor onde todas as coordenadas são 1, e aplicar conceitos básicos de autovalores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transposta de uma matriz , denotada por , é obtida trocando suas linhas por colunas.

Passo 3

Agora, considere o vetor onde todas as suas coordenadas são 1, ou seja, .

Passo 4

Vamos multiplicar por . Cada elemento da matriz corresponde a uma coluna de , então ao multiplicar por , estamos somando todas as entradas de cada coluna de .

Passo 5

Como as colunas de somam 1, a multiplicação resulta em um vetor onde cada entrada é 1, ou seja, .

Passo 6

Isso significa que é um autovetor de com autovalor 1, já que .

Passo 7

Como os autovalores de e são os mesmos, concluímos que é também um autovalor de .

Resposta

Portanto, é um autovalor de .

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