Prove que as medianas de um triângulo são concorrentes em um ponto que as divide na razão de 2 para 1. (O ponto de encontro das medianas chama-se baricentro do triângulo.)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos provar que as medianas de um triângulo se encontram em um único ponto, chamado baricentro, e que esse ponto divide cada mediana na razão de 2 para 1. Para isso, vamos usar conceitos de geometria relacionados a triângulos e propriedades das medianas.

Passo 2

Vamos começar lembrando o que é uma mediana. Em um triângulo, uma mediana é um segmento de reta que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. Por exemplo, na mediana que parte do vértice A, ela vai até o ponto médio do lado BC.

Passo 3

Agora, vamos considerar um triângulo qualquer, digamos o triângulo ABC. Vamos traçar as medianas AD, BE e CF, onde D, E e F são os pontos médios dos lados BC, AC e AB, respectivamente.

Passo 4

O próximo passo é mostrar que essas três medianas se encontram em um único ponto, o baricentro (G). Para isso, vamos usar coordenadas. Suponha que A tenha coordenadas (0,0), B tenha (2,0) e C tenha (0,2) para simplificar os cálculos.

Passo 5

Calculando as coordenadas dos pontos médios:
  • D, ponto médio de BC:
  • E, ponto médio de AC:
  • F, ponto médio de AB:

Passo 6

Agora, vamos encontrar as equações das medianas:
  • Mediana AD: liga (0,0) a (1,1). A equação é .
  • Mediana BE: liga (2,0) a (0,1). A inclinação é , então a equação é .
  • Mediana CF: liga (0,2) a (1,0). A inclinação é , então a equação é .

Passo 7

Vamos encontrar o ponto de interseção das medianas AD e BE. Igualando as equações:



Então, . Então, G é .

Passo 8

Vamos verificar se o ponto G também está na mediana CF:

Sim, G está na mediana CF.

Passo 9

Agora, vamos ver como G divide a mediana AD. A distância de A (0,0) a G é .
A distância de G a D (1,1) é .
Portanto, G divide AD na razão , ou seja, 2 para 1.

Resposta

As medianas de um triângulo se encontram no baricentro, que divide cada mediana na razão de 2 para 1.

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