Seja um operador linear tal que e .
(b) O núcleo de T, a dimensilo e uma de suas bases.
Passo 1
Então, a gente tem um operador linear que transforma vetores de três dimensões. O exercício pede para encontrar o núcleo de , que basicamente é o conjunto de vetores que manda para o vetor zero. A gente vai precisar usar conceitos de álgebra linear, como sistemas lineares e a definição de núcleo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o núcleo de . O núcleo, ou , é o conjunto de todos os vetores que satisfazem . Ou seja, queremos encontrar todos os vetores tais que:
Passo 3
Como é linear, podemos expressar como uma combinação linear das imagens dos vetores da base canônica. A gente tem as seguintes informações:
Vamos usar essas para descobrir as imagens de e .
Passo 4
Vamos primeiro descobrir . Sabemos que:
Substituindo , temos:
Resolvendo para :
Passo 5
Agora, vamos encontrar . Sabemos que:
Substituindo , temos:
Passo 6
Agora que temos e , podemos expressar como:
Passo 7
Agora, queremos que . Então, temos o sistema de equações:
Passo 8
Vamos resolver o sistema:
Da segunda equação, já temos .
Substituindo na primeira equação: ⟹ .
Substituindo e na terceira equação: .
Então, e, consequentemente, .
Passo 9
Portanto, a única solução é , , e . Isso significa que o núcleo de contém apenas o vetor zero.