Seja um operador linear tal que e .
(b) O núcleo de T, a dimensilo e uma de suas bases.

Passo 1

Então, a gente tem um operador linear que transforma vetores de três dimensões. O exercício pede para encontrar o núcleo de , que basicamente é o conjunto de vetores que manda para o vetor zero. A gente vai precisar usar conceitos de álgebra linear, como sistemas lineares e a definição de núcleo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o núcleo de . O núcleo, ou , é o conjunto de todos os vetores que satisfazem . Ou seja, queremos encontrar todos os vetores tais que:

Passo 3

Como é linear, podemos expressar como uma combinação linear das imagens dos vetores da base canônica. A gente tem as seguintes informações:
Vamos usar essas para descobrir as imagens de e .

Passo 4

Vamos primeiro descobrir . Sabemos que:
Substituindo , temos:
Resolvendo para :

Passo 5

Agora, vamos encontrar . Sabemos que:
Substituindo , temos:

Passo 6

Agora que temos e , podemos expressar como:

Passo 7

Agora, queremos que . Então, temos o sistema de equações:

Passo 8

Vamos resolver o sistema:
  1. Da segunda equação, já temos .
  2. Substituindo na primeira equação: .
  3. Substituindo e na terceira equação: .
Então, e, consequentemente, .

Passo 9

Portanto, a única solução é , , e . Isso significa que o núcleo de contém apenas o vetor zero.

Resposta

O núcleo de é , sua dimensão é e não possui base.

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