Seja T: R^3 R^3 um operador linear tal que T(1,0,1)=(1,1,0), T(0,1,0)=(1,0,-1) e T(0,1,1)=(0,0,1).
(b) O núcleo de T, a dimensilo e uma de suas bases.

Passo 1

Então, a gente tem um operador linear que transforma vetores de três dimensões. O exercício pede para encontrar o núcleo de , que basicamente é o conjunto de vetores que manda para o vetor zero. A gente vai precisar usar conceitos de álgebra linear, como sistemas lineares e a definição de núcleo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o núcleo de T(x, y, z) = 0 . O núcleo, ou , é o conjunto de todos os vetores que satisfazem . Ou seja, queremos encontrar todos os vetores tais que:

Passo 3

Como T(1, 0, 1) = (1, 1, 0) é linear, podemos expressar T(0, 1, 0) = (1, 0, -1) como uma combinação linear das imagens dos vetores da base canônica. A gente tem as seguintes informações:
T(0, 1, 1) = (0, 0, 1)
Vamos usar essas para descobrir as imagens de e .

Passo 4

Vamos primeiro descobrir T(0, 1, 1) = T(0, 1, 0) + T(0, 0, 1) = (0, 0, 1) . Sabemos que:
(1, 0, -1) + T(0, 0, 1) = (0, 0, 1)
Substituindo T(0, 0, 1) = (-1, 0, 2) , temos:
Resolvendo para :

Passo 5

Agora, vamos encontrar T(1, 0, 1) = T(1, 0, 0) + T(0, 0, 1) = (1, 1, 0) . Sabemos que:
T(1, 0, 0) = (1, 1, 0) - (-1, 0, 2) = (2, 1, -2)
Substituindo , temos:

Passo 6

Agora que temos T(x, y, z) = x cdot T(1, 0, 0) + y cdot T(0, 1, 0) + z cdot T(0, 0, 1) e T(x, y, z) = x cdot (2, 1, -2) + y cdot (1, 0, -1) + z cdot (-1, 0, 2) , podemos expressar T(x, y, z) = (2x + y - z, x, -2x - y + 2z) como:

Passo 7

Agora, queremos que 2x + y - z = 0 x = 0 -2x - y + 2z = 0 . Então, temos o sistema de equações:

Passo 8

Vamos resolver o sistema:
  1. Da segunda equação, já temos .
  2. Substituindo na primeira equação: .
  3. Substituindo e na terceira equação: .
Então, e, consequentemente, .

Passo 9

Portanto, a única solução é , , e . Isso significa que o núcleo de contém apenas o vetor zero.

Resposta

O núcleo de é , sua dimensão é e não possui base.

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