Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que se os vetores são linearmente dependentes (LD), então adicionando qualquer vetor , o conjunto também será LD. Vamos usar conceitos de dependência linear e combinações lineares para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente dependente. Um conjunto de vetores é LD se existe uma combinação linear não trivial que dê o vetor zero. Isso quer dizer que existem escalares, não todos nulos, tais que:
onde e não são ambos zero.
Passo 3
Sabendo que é LD, existe essa combinação linear. Agora, vamos considerar o conjunto . Queremos mostrar que este conjunto também é LD. Para isso, precisamos encontrar escalares , , e , não todos nulos, que satisfaçam:
Passo 4
Como já sabemos que para alguns e não ambos zero, podemos simplesmente escolher . Assim, temos:
Como , mas e não são ambos zero, essa é uma combinação linear não trivial que mostra que é LD.
Resposta
Portanto, se é linearmente dependente, então o conjunto também é linearmente dependente para qualquer vetor .