Prove que: se u, v é LD, então u, v, w é LD para qualquer w in V^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que se os vetores u, v são linearmente dependentes (LD), então adicionando qualquer vetor w, o conjunto u, v, w também será LD. Vamos usar conceitos de dependência linear e combinações lineares para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente dependente. Um conjunto de vetores u, v é LD se existe uma combinação linear não trivial que dê o vetor zero. Isso quer dizer que existem escalares, não todos nulos, tais que:
au + bv = 0
onde a e b não são ambos zero.

Passo 3

Sabendo que u, v é LD, existe essa combinação linear. Agora, vamos considerar o conjunto u, v, w. Queremos mostrar que este conjunto também é LD. Para isso, precisamos encontrar escalares a, b, e c, não todos nulos, que satisfaçam:
au + bv + cw = 0

Passo 4

Como já sabemos que au + bv = 0 para alguns a e b não ambos zero, podemos simplesmente escolher c = 0. Assim, temos:
au + bv + 0w = 0
Como c = 0, mas a e b não são ambos zero, essa é uma combinação linear não trivial que mostra que u, v, w é LD.

Resposta

Portanto, se u, v é linearmente dependente, então o conjunto u, v, w também é linearmente dependente para qualquer vetor w in V^3.

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