Prove que: se
é LD, então
é LD para qualquer
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que se os vetores
são linearmente dependentes (LD), então adicionando qualquer vetor
, o conjunto
também será LD. Vamos usar conceitos de dependência linear e combinações lineares para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente dependente. Um conjunto de vetores
é LD se existe uma combinação linear não trivial que dê o vetor zero. Isso quer dizer que existem escalares, não todos nulos, tais que:
onde
e
não são ambos zero.
Passo 3
Sabendo que
é LD, existe essa combinação linear. Agora, vamos considerar o conjunto
. Queremos mostrar que este conjunto também é LD. Para isso, precisamos encontrar escalares
,
, e
, não todos nulos, que satisfaçam:
Passo 4
Como já sabemos que
para alguns
e
não ambos zero, podemos simplesmente escolher
. Assim, temos:
Como
, mas
e
não são ambos zero, essa é uma combinação linear não trivial que mostra que
é LD.
Resposta
Portanto, se
é linearmente dependente, então o conjunto
também é linearmente dependente para qualquer vetor
.