Prove que: se é LD, então é LD para qualquer .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que se os vetores são linearmente dependentes (LD), então adicionando qualquer vetor , o conjunto também será LD. Vamos usar conceitos de dependência linear e combinações lineares para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente dependente. Um conjunto de vetores é LD se existe uma combinação linear não trivial que dê o vetor zero. Isso quer dizer que existem escalares, não todos nulos, tais que:
onde e não são ambos zero.

Passo 3

Sabendo que é LD, existe essa combinação linear. Agora, vamos considerar o conjunto . Queremos mostrar que este conjunto também é LD. Para isso, precisamos encontrar escalares , , e , não todos nulos, que satisfaçam:

Passo 4

Como já sabemos que para alguns e não ambos zero, podemos simplesmente escolher . Assim, temos:
Como , mas e não são ambos zero, essa é uma combinação linear não trivial que mostra que é LD.

Resposta

Portanto, se é linearmente dependente, então o conjunto também é linearmente dependente para qualquer vetor .

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e .
Prove que as medianas de um triângulo são concorrentes em um ponto que as divide na razão de 2 para 1. (O ponto de encontro das medianas chama-se baricentro do triângulo.)
Seja um operador linear tal que e .
© A imagem de T, a dimensâo e uma de suas bases.
Avalie as proposições a seguir e determine se são verdadeiras ou falsa, sempre justificando sua resposta.
a) Todo número composto é par.