Seja (G, *) um grupo e a in G com |a|=n e n=r cdot s. Seja m in Z, arbitrário, prove que:
ii) lang<= a^mrang<==lang<= a^(m, n)rang<=

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos dá um grupo (G, *) e um elemento a in G com ordem |a| = n, onde n pode ser escrito como n = r cdot s. Queremos provar que, para qualquer inteiro m, o subgrupo gerado por a^m é igual ao subgrupo gerado por a^(m, n), onde (m, n) representa o máximo divisor comum de m e n. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de subgrupos gerados por um elemento e como o máximo divisor comum influencia esses subgrupos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa lang<= a^m rang<=. Esse símbolo representa o subgrupo de G gerado por a^m, ou seja, todos os elementos que podem ser obtidos aplicando a operação do grupo repetidamente a a^m. Da mesma forma, lang<= a^(m, n) rang<= é o subgrupo gerado por a elevado ao máximo divisor comum de m e n.

Passo 3

Sabemos que a ordem de um elemento a^k em um grupo é dada por n(k, n), onde (k, n) é o máximo divisor comum de k e n. Isso significa que a ordem de a^m é n(m, n). Portanto, o subgrupo lang<= a^m rang<= terá exatamente esse número de elementos.

Passo 4

Agora, vamos analisar o subgrupo lang<= a^(m, n) rang<=. A ordem de a^(m, n) será n( (m, n), n ). Como (m, n) divide n, temos que ( (m, n), n ) = (m, n). Portanto, a ordem de a^(m, n) é também n(m, n).

Passo 5

Observamos que tanto lang<= a^m rang<= quanto lang<= a^(m, n) rang<= têm a mesma ordem, ou seja, o mesmo número de elementos. Além disso, ambos são gerados por elementos que, ao serem elevados a potências, percorrem exatamente os mesmos elementos do grupo G. Isso implica que os dois subgrupos são, de fato, iguais.

Resposta

Portanto, lang<= a^m rang<= = lang<= a^(m, n) rang<=.

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