Seja
um grupo e
com
e
. Seja
, arbitrário, prove que:
ii)
ii)
Passo 1
Vamos lá! O enunciado nos dá um grupo
e um elemento
com ordem
, onde
pode ser escrito como
. Queremos provar que, para qualquer inteiro
, o subgrupo gerado por
é igual ao subgrupo gerado por
, onde
representa o máximo divisor comum de
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de subgrupos gerados por um elemento e como o máximo divisor comum influencia esses subgrupos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
. Esse símbolo representa o subgrupo de
gerado por
, ou seja, todos os elementos que podem ser obtidos aplicando a operação do grupo repetidamente a
. Da mesma forma,
é o subgrupo gerado por
elevado ao máximo divisor comum de
e
.
Passo 3
Sabemos que a ordem de um elemento
em um grupo é dada por
, onde
é o máximo divisor comum de
e
. Isso significa que a ordem de
é
. Portanto, o subgrupo
terá exatamente esse número de elementos.
Passo 4
Agora, vamos analisar o subgrupo
. A ordem de
será
. Como
divide
, temos que
. Portanto, a ordem de
é também
.
Passo 5
Observamos que tanto
quanto
têm a mesma ordem, ou seja, o mesmo número de elementos. Além disso, ambos são gerados por elementos que, ao serem elevados a potências, percorrem exatamente os mesmos elementos do grupo
. Isso implica que os dois subgrupos são, de fato, iguais.
Resposta
Portanto,
.
Exercícios relacionados
Prove que todo grupo de ordem 3 é abeliano.
Prove que a multiplicação é uma operação em
, se e somente se,
é primo.
Prove que:
a) , se p é primo
a)
Seja
um elemento de um grupo. Se
e
, prove que
e
.