Prove que todo grupo de ordem 3 é abeliano.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos provar que todo grupo de ordem 3 é abeliano. Aqui, “grupo” se refere a uma estrutura matemática com um conjunto de elementos e uma operação que combina dois elementos para formar outro. “Ordem 3” significa que o grupo tem exatamente 3 elementos. Um grupo abeliano é aquele em que a operação é comutativa, ou seja, a ordem dos elementos não altera o resultado da operação.

Passo 2

Para provar isso, vamos usar um conceito fundamental de teoria de grupos: um grupo de ordem prima é sempre cíclico. O número 3 é um número primo, então sabemos que qualquer grupo com 3 elementos é cíclico.
Um grupo cíclico é gerado por um único elemento, digamos , onde todos os elementos do grupo podem ser escritos como potências de : , sendo o elemento identidade.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que todos os grupos cíclicos são abelianos. Isso ocorre porque, em um grupo cíclico, a operação entre quaisquer dois elementos depende apenas dos expoentes dos geradores, e a soma desses expoentes é comutativa.
Mais formalmente, se temos dois elementos g^a cdot g^b = g^a+b = g^b+a = g^b cdot g^a e em um grupo cíclico, então:
O que mostra que a operação é comutativa.

Passo 4

Concluindo, já que todo grupo de ordem 3 é cíclico e todo grupo cíclico é abeliano, segue-se que todo grupo de ordem 3 é abeliano.

Resposta

Portanto, qualquer grupo com 3 elementos é abeliano porque é cíclico e grupos cíclicos sempre têm operações comutativas.

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