Prove que a multiplicação de um vetor por um escalar não depende da escolha particular de um segmento orientado que represente o vetor.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que quando multiplicamos um vetor por um escalar, o resultado não depende de qual segmento orientado a gente escolhe para representar esse vetor. Estamos lidando com Álgebra Vetorial aqui, e vamos precisar entender o que é um vetor, escalar e como a multiplicação escalar funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um vetor. Um vetor é representado por um segmento de reta com direção e sentido específicos, e sua magnitude, que é o comprimento desse segmento. Mas, importante, a representação gráfica do vetor pode variar em posição no espaço, mas a direção, sentido e magnitude permanecem os mesmos.
Passo 3
Agora, sobre a multiplicação de um vetor por um escalar. Quando multiplicamos um vetor v por um escalar k, a direção de v permanece a mesma se k for positivo, ou é invertida se k for negativo. A magnitude do novo vetor é o valor absoluto de k vezes a magnitude de v. A fórmula fica assim:
Passo 4
Vamos considerar duas representações diferentes do mesmo vetor v: digamos, v₁ e v₂. Ambas têm a mesma direção e magnitude, mas podem estar posicionadas em lugares diferentes no espaço. Nosso objetivo é mostrar que multiplicar por um escalar k produz o mesmo vetor w, independentemente se usamos v₁ ou v₂.
Passo 5
Multiplicando v₁ por k, temos:
E multiplicando v₂ por k, temos:
Como v₁ e v₂ são o mesmo vetor representado de formas diferentes, w₁ e w₂ terão a mesma direção e magnitude, ou seja, w₁ = w₂.
Passo 6
Isso mostra que, não importa qual representação do vetor a gente escolha, ao multiplicar por um escalar k, o resultado final será sempre o mesmo vetor escalado. A operação não depende da representação específica do vetor original.
Resposta
Portanto, provamos que a multiplicação de um vetor por um escalar é independente da escolha particular do segmento orientado que representa o vetor.