Prove que a multiplicação de um vetor por um escalar não depende da escolha particular de um segmento orientado que represente o vetor.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que quando multiplicamos um vetor por um escalar, o resultado não depende de qual segmento orientado a gente escolhe para representar esse vetor. Estamos lidando com Álgebra Vetorial aqui, e vamos precisar entender o que é um vetor, escalar e como a multiplicação escalar funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um vetor. Um vetor é representado por um segmento de reta com direção e sentido específicos, e sua magnitude, que é o comprimento desse segmento. Mas, importante, a representação gráfica do vetor pode variar em posição no espaço, mas a direção, sentido e magnitude permanecem os mesmos.

Passo 3

Agora, sobre a multiplicação de um vetor por um escalar. Quando multiplicamos um vetor v por um escalar k, a direção de v permanece a mesma se k for positivo, ou é invertida se k for negativo. A magnitude do novo vetor é o valor absoluto de k vezes a magnitude de v. A fórmula fica assim:

Passo 4

Vamos considerar duas representações diferentes do mesmo vetor v: digamos, v₁ e v₂. Ambas têm a mesma direção e magnitude, mas podem estar posicionadas em lugares diferentes no espaço. Nosso objetivo é mostrar que multiplicar por um escalar k produz o mesmo vetor w, independentemente se usamos v₁ ou v₂.

Passo 5

Multiplicando v₁ por k, temos:
E multiplicando v₂ por k, temos:
Como v₁ e v₂ são o mesmo vetor representado de formas diferentes, w₁ e w₂ terão a mesma direção e magnitude, ou seja, w₁ = w₂.

Passo 6

Isso mostra que, não importa qual representação do vetor a gente escolha, ao multiplicar por um escalar k, o resultado final será sempre o mesmo vetor escalado. A operação não depende da representação específica do vetor original.

Resposta

Portanto, provamos que a multiplicação de um vetor por um escalar é independente da escolha particular do segmento orientado que representa o vetor.

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(d) .
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Usando as regras de derivação para funções trigonométricas, calcule:
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(a) Verifique que .
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© Se é a área do triângulo retângulo situado no 1o quadrante, com cada um dos seus catetos apoiados nos eixos coordenados e cuja hipotenusa contém o ponto , mostre que
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