(d) Explique porque somente a teoria desenvolvida até agora não nos permite concluir que tem ponto de mínimo.
(e) Verifique que a função tende para infinito quando ou .
(f) O item acima mostra que existem tais que
Conclua que, apesar do domínio da função se aberto e ilimitado, ela possui um ponto de mínimo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma reta com a equação que passa pelo ponto . A gente vai trabalhar com conceitos de geometria analítica, especificamente sobre equações de retas e suas interseções com os eixos coordenados. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da reta, encontrar os coeficientes e , e calcular áreas de triângulos formados pela reta e os eixos.
Passo 2
Parte (a): Verificar que .
Primeiro, sabemos que a reta passa pelo ponto . Isso significa que, na equação da reta, quando , . Vamos substituir esses valores na equação:
Isso dá:
Assim, a equação da reta fica:
Passo 3
Parte (b): Calcular as coordenadas dos pontos onde a reta intercepta os eixos e .
Para encontrar onde a reta intercepta o eixo , fixamos :
Então, a interseção com o eixo é .
Para encontrar onde a reta intercepta o eixo , fixamos :
A área do triângulo formado pela reta e os eixos é dada por:
Aqui, a base é a distância no eixo , que é , e a altura é a distância no eixo , que é .
Então:
Como , vamos considerar os valores positivos:
Simplificando:
Passo 5
Parte (d): Explicar por que somente a teoria desenvolvida até agora não nos permite concluir que tem ponto de mínimo.
Até agora, calculamos a expressão da área em função de , mas não analisamos o comportamento dessa função em relação aos seus extremos. Não exploramos derivadas ou condições de extrema para determinar se possui um ponto mínimo. Além disso, a função está definida somente para , e sem uma análise mais profunda, não podemos afirmar onde o mínimo ocorre.
Passo 6
Parte (e): Verificar que tende ao infinito quando ou .
Vamos analisar os limites da função :
Quando :
Quando :
Portanto, tende ao infinito em ambos os casos.
Passo 7
Parte (f): Concluir que, apesar do domínio da função ser aberto e ilimitado, ela possui um ponto de mínimo.
Sabemos que tende ao infinito quando se aproxima de ou de , e que existe um valor de onde é menor que nos intervalos próximos a esses limites. Por conta disso, a função deve ter um ponto onde atinge o menor valor possível, ou seja, um ponto de mínimo. Mesmo com o domínio sendo aberto e sem restrições, a função possui esse mínimo devido ao comportamento assintótico nos extremos.
Resposta
Concluímos que a função área , definida para , possui um ponto de mínimo apesar de seu domínio ser aberto e ilimitado, já que tende ao infinito quando tende a ou a .