Seja , com , a equação de uma reta que passa pelo ponto .
(a) Verifique que .
(b) Calcule as coordenadas dos pontos em que a reta intercepta os eixos e , respectivamente.
© Se é a área do triângulo retângulo situado no 1o quadrante, com cada um dos seus catetos apoiados nos eixos coordenados e cuja hipotenusa contém o ponto , mostre que
(d) Explique porque somente a teoria desenvolvida até agora não nos permite concluir que tem ponto de mínimo.
(e) Verifique que a função tende para infinito quando ou .
(f) O item acima mostra que existem tais que
Conclua que, apesar do domínio da função se aberto e ilimitado, ela possui um ponto de mínimo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma reta com a equação que passa pelo ponto . A gente vai trabalhar com conceitos de geometria analítica, especificamente sobre equações de retas e suas interseções com os eixos coordenados. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da reta, encontrar os coeficientes e , e calcular áreas de triângulos formados pela reta e os eixos.

Passo 2

Parte (a): Verificar que .
Primeiro, sabemos que a reta passa pelo ponto . Isso significa que, na equação da reta, quando , . Vamos substituir esses valores na equação:
Isso dá:
Assim, a equação da reta fica:

Passo 3

Parte (b): Calcular as coordenadas dos pontos onde a reta intercepta os eixos e .
Para encontrar onde a reta intercepta o eixo , fixamos :
Então, a interseção com o eixo é .
Para encontrar onde a reta intercepta o eixo , fixamos :
Resolvendo para :
Então, a interseção com o eixo é .

Passo 4

Parte ©: Mostrar que a área para .
A área do triângulo formado pela reta e os eixos é dada por:
Aqui, a base é a distância no eixo , que é , e a altura é a distância no eixo , que é .
Então:
Como , vamos considerar os valores positivos:
Simplificando:

Passo 5

Parte (d): Explicar por que somente a teoria desenvolvida até agora não nos permite concluir que tem ponto de mínimo.
Até agora, calculamos a expressão da área em função de , mas não analisamos o comportamento dessa função em relação aos seus extremos. Não exploramos derivadas ou condições de extrema para determinar se possui um ponto mínimo. Além disso, a função está definida somente para , e sem uma análise mais profunda, não podemos afirmar onde o mínimo ocorre.

Passo 6

Parte (e): Verificar que tende ao infinito quando ou .
Vamos analisar os limites da função :
  1. Quando :
  1. Quando :
Portanto, tende ao infinito em ambos os casos.

Passo 7

Parte (f): Concluir que, apesar do domínio da função ser aberto e ilimitado, ela possui um ponto de mínimo.
Sabemos que tende ao infinito quando se aproxima de ou de , e que existe um valor de onde é menor que nos intervalos próximos a esses limites. Por conta disso, a função deve ter um ponto onde atinge o menor valor possível, ou seja, um ponto de mínimo. Mesmo com o domínio sendo aberto e sem restrições, a função possui esse mínimo devido ao comportamento assintótico nos extremos.

Resposta

Concluímos que a função área , definida para , possui um ponto de mínimo apesar de seu domínio ser aberto e ilimitado, já que tende ao infinito quando tende a ou a .

Exercícios relacionados

Usando as regras de derivação para funções trigonométricas, calcule:
Prove que a multiplicação de um vetor por um escalar não depende da escolha particular de um segmento orientado que represente o vetor.
Ache a derivada da função usando os teoremas de derivação.
[1 ponto por item]