Usando as regras de derivação para funções trigonométricas, calcule: f(x) = cossec(x) * (x + cotg(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função . Para isso, vamos usar as regras de derivação para funções trigonométricas e a regra do produto. Vamos precisar lembrar das derivadas de e , além de saber como aplicar a regra do produto quando temos duas funções multiplicando uma à outra.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão sendo multiplicadas:
Para aplicar a regra do produto, precisamos das derivadas de e .

Passo 3

Vamos derivar . Sabemos que:
Então,

Passo 4

Agora, vamos derivar . Sabemos que:
Assim,

Passo 5

Aplicando a regra do produto, que diz que:
Substituindo , e que encontramos:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
Primeiro, distribuindo o primeiro termo:
E o segundo termo permanece:
Então, juntando tudo:

Passo 7

Podemos fatorar nos termos semelhantes:

Resposta

A derivada da função é:

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