Usando as regras de derivação para funções trigonométricas, calcule:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função . Para isso, vamos usar as regras de derivação para funções trigonométricas e a regra do produto. Vamos precisar lembrar das derivadas de e , além de saber como aplicar a regra do produto quando temos duas funções multiplicando uma à outra.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão sendo multiplicadas:
Para aplicar a regra do produto, precisamos das derivadas de e .

Passo 3

Vamos derivar . Sabemos que:
Então,

Passo 4

Agora, vamos derivar . Sabemos que:
Assim,

Passo 5

Aplicando a regra do produto, que diz que:
Substituindo , e que encontramos:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
Primeiro, distribuindo o primeiro termo:
E o segundo termo permanece:
Então, juntando tudo:

Passo 7

Podemos fatorar nos termos semelhantes:

Resposta

A derivada da função é:

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Prove que a multiplicação de um vetor por um escalar não depende da escolha particular de um segmento orientado que represente o vetor.
Seja
Esboce o gráfico e calcule os limites indicados se existirem:
(d) .
Seja , com , a equação de uma reta que passa pelo ponto .
(a) Verifique que .
(b) Calcule as coordenadas dos pontos em que a reta intercepta os eixos e , respectivamente.
© Se é a área do triângulo retângulo situado no 1o quadrante, com cada um dos seus catetos apoiados nos eixos coordenados e cuja hipotenusa contém o ponto , mostre que
(d) Explique porque somente a teoria desenvolvida até agora não nos permite concluir que tem ponto de mínimo.
(e) Verifique que a função tende para infinito quando ou .
(f) O item acima mostra que existem tais que
Conclua que, apesar do domínio da função se aberto e ilimitado, ela possui um ponto de mínimo.