Prove, para n in N, as seguintes proposições: 1/(1.5) + 1/(5.9) + 1/(9.13) + ... + 1/((4n-3)(4n+1)) = n/(4n+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que, para todo número natural , a soma dos termos é igual a . A matéria envolvida aqui é séries e somas, e vamos precisar usar frações parciais para simplificar cada termo da soma e identificar um padrão que facilite a prova.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como simplificar cada termo da soma usando frações parciais. Frações parciais são uma técnica para decompor frações complexas em frações mais simples. Para um termo geral da nossa soma, , queremos escrever isso como:
onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos resolver para e . Multiplicando ambos os lados da equação por , temos:
Agora, precisamos encontrar valores de e que satisfaçam essa igualdade para todo . Para simplificar, podemos escolher valores específicos de que eliminem uma das incógnitas.

Passo 4

Vamos escolher de forma que simplifique a equação. Por exemplo, se , então . No entanto, como é natural, preferimos resolver de outra maneira. Podemos igualar os coeficientes dos termos iguais em ambos os lados da equação:
Para que isso seja válido para todo , os coeficientes das potências de devem ser iguais em ambos os lados. Então, temos:

Passo 5

Agora, vamos resolver esse sistema de equações:
  1. De , temos .
  2. Substituindo na segunda equação: .
  3. Então, .
Portanto, a decomposição em frações parciais fica:

Passo 6

Agora, substituímos essa expressão na soma original:
Fatorando o :

Passo 7

Observamos que essa soma é telescópica, ou seja, muitos termos vão se cancelar. Vamos expandir alguns termos para ver isso melhor:
Como vemos, cancela com , cancela com , e assim por diante, até restarem apenas os primeiros e os últimos termos.

Passo 8

Após o cancelamento, a soma fica:
Simplificando dentro dos parênteses:

Passo 9

Agora, multiplicamos pela :

Resposta

Portanto, provamos que:

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Para todo n in N, mostre que: 80 divide 3^(4 n) - 1.