Prove que, se
é um inteiro maior do que 1, então temos:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me deu pede para provar que, se
é um número inteiro maior que 1, então a multiplicação dos primeiros
números ímpares é menor que
. Estamos lidando com inequações algébricas aqui, e para resolver isso, vamos precisar usar princípios de matemática discreta e técnicas como matemática por indução. Vamos seguir passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa multiplicar os primeiros
números ímpares. Isso é representado por:
Esse produto pode ser reescrito de uma forma mais simples usando fatorial. Sabemos que:
Aqui,
é o fatorial de
, e
é o fatorial de
.
Passo 3
Agora, queremos provar que:
Para isso, vamos utilizar matemática por indução. A indução matemática é uma técnica que permite provar que uma propriedade é verdadeira para todos os números naturais
acima de um certo valor.
Passo 4
Base da Indução: Vamos verificar se a desigualdade é verdadeira para
:
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Então,
A base da indução é verdadeira.
Passo 5
Hipótese de Indução: Suponha que para algum
, a desigualdade seja verdadeira:
Queremos provar que:
Passo 6
Vamos expandir o lado esquerdo para
:
Pela hipótese de indução, sabemos que:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 7
Agora, precisamos mostrar que:
Podemos reescrever
como:
Então, queremos provar:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 8
Observando que
é uma expressão conhecida que se aproxima de
(a base dos logaritmos naturais) quando
cresce. Para
:
Portanto:
E como
para
, concluímos que:
Passo 9
Dessa forma, completamos a cadeia de desigualdades que prova que:
Assim, pela indução matemática, a desigualdade é verdadeira para todo inteiro
.
Resposta
Portanto, provamos que para todo inteiro
:
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Prove, para
, as seguintes proposições:
Prove, para
, as seguintes proposições:
Para todo
, mostre que: 80 divide
.
Prove, para
, as seguintes proposições: