Prove que, se n é um inteiro maior do que 1, então temos:
1 * 3 * 5 * ... * (2 n - 1) < n^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me deu pede para provar que, se é um número inteiro maior que 1, então a multiplicação dos primeiros números ímpares é menor que . Estamos lidando com inequações algébricas aqui, e para resolver isso, vamos precisar usar princípios de matemática discreta e técnicas como matemática por indução. Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa multiplicar os primeiros números ímpares. Isso é representado por:
Esse produto pode ser reescrito de uma forma mais simples usando fatorial. Sabemos que:
Aqui, é o fatorial de , e é o fatorial de .

Passo 3

Agora, queremos provar que:
Para isso, vamos utilizar matemática por indução. A indução matemática é uma técnica que permite provar que uma propriedade é verdadeira para todos os números naturais acima de um certo valor.

Passo 4

Base da Indução: Vamos verificar se a desigualdade é verdadeira para :
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Então,
A base da indução é verdadeira.

Passo 5

Hipótese de Indução: Suponha que para algum , a desigualdade seja verdadeira:
Queremos provar que:

Passo 6

Vamos expandir o lado esquerdo para :
Pela hipótese de indução, sabemos que:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 7

Agora, precisamos mostrar que:
Podemos reescrever como:
Então, queremos provar:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 8

Observando que é uma expressão conhecida que se aproxima de (a base dos logaritmos naturais) quando cresce. Para :
Portanto:
E como para , concluímos que:

Passo 9

Dessa forma, completamos a cadeia de desigualdades que prova que:
Assim, pela indução matemática, a desigualdade é verdadeira para todo inteiro .

Resposta

Portanto, provamos que para todo inteiro :

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