Prove, para n in N, as seguintes proposições: 1/1.4 + 1/4.7 + 1/(7.10) + ... + 1/((3n-2)(3n+1)) = n/(3n+1)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos que provar que, para todo número natural , a soma da sequência
é igual a . Vamos precisar usar técnicas de somatório e frações parciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os termos da sequência. Observamos que cada termo tem a forma , onde varia de 1 até . Para somar esses termos, podemos simplificar cada fração usando frações parciais.

Passo 3

Aplicando frações parciais, queremos encontrar constantes e tais que:
Multiplicando ambos os lados por , temos:

Passo 4

Agora, vamos resolver para e . Podemos escolher valores de que simplifiquem a equação:
  • Se , então :
  • Se , então :

Passo 5

Com e , podemos reescrever cada termo da soma:
Assim, a soma original se torna:

Passo 6

Observamos que essa soma é telescópica, ou seja, muitos termos se cancelam. Vamos expandir os primeiros e últimos termos para ver isso:
Note que , , etc., cancelam entre si, restando apenas:

Passo 7

Simplificando a expressão final:

Resposta

Portanto, .

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