Prove, para
, as seguintes proposições:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos que provar que, para todo número natural
, a soma da sequência
é igual a
. Vamos precisar usar técnicas de somatório e frações parciais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os termos da sequência. Observamos que cada termo tem a forma
, onde
varia de 1 até
. Para somar esses termos, podemos simplificar cada fração usando frações parciais.
Passo 3
Aplicando frações parciais, queremos encontrar constantes
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Passo 4
Agora, vamos resolver para
e
. Podemos escolher valores de
que simplifiquem a equação:
- Se
, então : - Se
, então :
Passo 5
Com
e
, podemos reescrever cada termo da soma:
Assim, a soma original se torna:
Passo 6
Observamos que essa soma é telescópica, ou seja, muitos termos se cancelam. Vamos expandir os primeiros e últimos termos para ver isso:
Note que
,
, etc., cancelam entre si, restando apenas:
Passo 7
Simplificando a expressão final:
Resposta
Portanto,
.