Prove, para n in N, as seguintes proposições: 1.2 . 3 + 2 . 3 . 4 + 3 . 4 . 5 + ... + n(n + 1)(n + 2) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) / 4

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. A gente precisa provar que, para qualquer número natural , a soma dos termos da forma de até é igual a . Isso envolve conhecimentos de somatórios e manipulação algébrica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que estamos somando. Temos a sequência:
Cada termo da soma é da forma , e queremos somar todos esses termos até .

Passo 3

Para resolver isso, uma boa estratégia é expandir o termo geral e então somar cada parte separadamente. Vamos fazer isso passo a passo.
Primeiro, vamos expandir :
Então, a soma que queremos provar fica assim:

Passo 4

Agora, separamos a soma em três partes:
Sabemos fórmulas para cada uma dessas somas:
  1. Soma dos cubos:
  1. Soma dos quadrados:
  1. Soma dos primeiros números naturais:

Passo 5

Substituindo essas fórmulas na nossa expressão, temos:
Vamos simplificar cada termo:
  1. Primeiro termo:
  1. Segundo termo:
  1. Terceiro termo:

Passo 6

Agora, juntamos tudo:
Para simplificar, vamos colocar todos os termos com denominador 4:
Agora, somando os numeradores:

Passo 7

Fatorando no numerador:
Simplificando dentro dos colchetes:
Então, temos:
Perceba que pode ser fatorado:

Passo 8

Substituindo de volta:
Isso confirma a expressão que queríamos provar.

Resposta

Portanto, provamos que:

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