Prove, para
, as seguintes proposições:
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. A gente precisa provar que, para qualquer número natural
, a soma dos termos da forma
de
até
é igual a
. Isso envolve conhecimentos de somatórios e manipulação algébrica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que estamos somando. Temos a sequência:
Cada termo da soma é da forma
, e queremos somar todos esses termos até
.
Passo 3
Para resolver isso, uma boa estratégia é expandir o termo geral
e então somar cada parte separadamente. Vamos fazer isso passo a passo.
Primeiro, vamos expandir
:
Então, a soma que queremos provar fica assim:
Passo 4
Agora, separamos a soma em três partes:
Sabemos fórmulas para cada uma dessas somas:
- Soma dos cubos:
- Soma dos quadrados:
- Soma dos primeiros
números naturais:
Passo 5
Substituindo essas fórmulas na nossa expressão, temos:
Vamos simplificar cada termo:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Passo 6
Agora, juntamos tudo:
Para simplificar, vamos colocar todos os termos com denominador 4:
Agora, somando os numeradores:
Passo 7
Fatorando
no numerador:
Simplificando dentro dos colchetes:
Então, temos:
Perceba que
pode ser fatorado:
Passo 8
Substituindo de volta:
Isso confirma a expressão que queríamos provar.
Resposta
Portanto, provamos que: