Prove, para
, as seguintes proposições:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos provar que, para qualquer número natural
, a soma dos quadrados dos primeiros
números ímpares segue a fórmula:
Para isso, vamos usar o Princípio da Indução Matemática, que é uma técnica poderosa para provar proposições que valem para todos os números naturais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a fórmula funciona para
.
Calculando a soma dos quadrados:
Agora, substituindo
na fórmula fornecida:
Como ambos os lados são iguais, a fórmula é verdadeira para
.
Passo 3
Agora, vamos supor que a fórmula é verdadeira para algum número natural
. Essa suposição é chamada de hipótese de indução:
Passo 4
Nosso próximo objetivo é mostrar que, se a fórmula vale para
, então ela também vale para
. Ou seja, precisamos provar que:
Passo 5
Usando a hipótese de indução, substituímos a soma até
:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão adicionando os termos:
Podemos fatorar
:
Passo 7
Simplificando dentro do colchete:
Portanto, a expressão fica:
Passo 8
Fatorando
:
Substituindo de volta:
Isso é equivalente a:
Passo 9
Portanto, mostramos que se a fórmula é válida para
, ela também é válida para
. Como já verificamos que é válida para
, por indução matemática, a fórmula é válida para todo
.
Resposta
Prova concluída: para todo
, temos