Prove, para n in N, as seguintes proposições: 1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + (2n-1)^2 = n(2n-1)(2n+1)/3

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos provar que, para qualquer número natural , a soma dos quadrados dos primeiros números ímpares segue a fórmula:
Para isso, vamos usar o Princípio da Indução Matemática, que é uma técnica poderosa para provar proposições que valem para todos os números naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a fórmula funciona para .
Calculando a soma dos quadrados:
Agora, substituindo na fórmula fornecida:
Como ambos os lados são iguais, a fórmula é verdadeira para .

Passo 3

Agora, vamos supor que a fórmula é verdadeira para algum número natural . Essa suposição é chamada de hipótese de indução:

Passo 4

Nosso próximo objetivo é mostrar que, se a fórmula vale para , então ela também vale para . Ou seja, precisamos provar que:

Passo 5

Usando a hipótese de indução, substituímos a soma até :

Passo 6

Vamos simplificar a expressão adicionando os termos:
Podemos fatorar :

Passo 7

Simplificando dentro do colchete:
Portanto, a expressão fica:

Passo 8

Fatorando :
Substituindo de volta:
Isso é equivalente a:

Passo 9

Portanto, mostramos que se a fórmula é válida para , ela também é válida para . Como já verificamos que é válida para , por indução matemática, a fórmula é válida para todo .

Resposta

Prova concluída: para todo , temos

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