Prove, para n in N, as seguintes proposições: 1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + (2n-1)^2 = n(2n-1)(2n+1)/3

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos provar que, para qualquer número natural , a soma dos quadrados dos primeiros números ímpares segue a fórmula:
Para isso, vamos usar o Princípio da Indução Matemática, que é uma técnica poderosa para provar proposições que valem para todos os números naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a fórmula funciona para .
Calculando a soma dos quadrados:
Agora, substituindo na fórmula fornecida:
Como ambos os lados são iguais, a fórmula é verdadeira para .

Passo 3

Agora, vamos supor que a fórmula é verdadeira para algum número natural . Essa suposição é chamada de hipótese de indução:

Passo 4

Nosso próximo objetivo é mostrar que, se a fórmula vale para , então ela também vale para . Ou seja, precisamos provar que:

Passo 5

Usando a hipótese de indução, substituímos a soma até :

Passo 6

Vamos simplificar a expressão adicionando os termos:
Podemos fatorar :

Passo 7

Simplificando dentro do colchete:
Portanto, a expressão fica:

Passo 8

Fatorando :
Substituindo de volta:
Isso é equivalente a:

Passo 9

Portanto, mostramos que se a fórmula é válida para , ela também é válida para . Como já verificamos que é válida para , por indução matemática, a fórmula é válida para todo .

Resposta

Prova concluída: para todo , temos

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<html><head></head><body><div>Prove, para <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.09ex;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“5.757ex” height=“1.636ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -683 2544.6 723”><title>n in N</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D45B” d=“M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(877.8,0)”><path data-c=“2208” d=“M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD” transform=“translate(1822.6,0)”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“2115” d=“M20 664Q20 666 31 683H142Q256 683 258 681Q259 680 279 653T342 572T422 468L582 259V425Q582 451 582 490T583 541Q583 611 573 628T522 648Q500 648 493 654Q484 665 493 679L500 683H691Q702 676 702 666Q702 657 698 652Q688 648 680 648Q633 648 627 612Q624 601 624 294V-8Q616 -20 607 -20Q601 -20 596 -15Q593 -13 371 270L156 548L153 319Q153 284 153 234T152 167Q152 103 156 78T172 44T213 34Q236 34 242 28Q253 17 242 3L236 -1H36Q24 6 24 16Q24 34 56 34Q58 35 69 36T86 40T100 50T109 72Q111 83 111 345V603L96 619Q72 643 44 648Q20 648 20 664ZM413 419L240 648H120L136 628Q137 626 361 341T587 54L589 68Q589 78 589 121V192L413 419Z”></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span>, as seguintes proposições: <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“50.509ex” height=“2.52ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -864 22325 1114”><title>1.2^0 + 2.2^1 + 3.2^2 + … + n * 2^(n-1) = 1 + (n-1) * 2^n</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“msup”><g data-mml-node=“mn”><path data-c=“31” d=“M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z”></path><path data-c=“2E” d=“M78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 104T199 61Q199 36 182 18T139 0T96 17T78 60Z” transform=“translate(500,0)”></path><path data-c=“32” d=“M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 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</body></html>
<html><head></head><body><div>Prove, para <span class="math-inline ">
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