Para todo
natural, mostre que
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que, para qualquer número natural
, o produto dos cossenos
é igual a . Para resolver isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas que envolvem produtos de cossenos e expressões com seno.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como simplificar o produto dos cossenos. Sabemos que existe uma identidade trigonométrica que relaciona o produto de cossenos com uma expressão envolvendo seno. A identidade é:
Nosso objetivo é provar que essa identidade realmente funciona para qualquer número natural
.
Passo 3
Para provar essa identidade, vamos usar o método da indução matemática, que consiste em dois passos:
- Base da indução: Verificar se a igualdade vale para
. - Passo indutivo: Assumir que a igualdade vale para algum
e mostrar que ela também vale para .
Passo 4
Base da Indução (
)
Quando
, o produto dos cossenos é apenas
. Vamos ver se a identidade funciona:
Sabemos que , então substituindo:
Como
, a base da indução está correta.
Passo 5
Passo Indutivo
Vamos supor que a identidade vale para
, ou seja:
Agora, precisamos mostrar que a igualdade também vale para
:
Usando a hipótese de indução:
Sabemos que , então:
Assim, a identidade também vale para
.
Resposta
Portanto, por indução matemática, mostramos que para todo número natural
: