Para todo n natural, mostre que
cos (alpha) cdot cos (2 alpha) cdot cos (4 alpha) cdot cdots cdot cos (2^n alpha)=sen(2^n+1 alpha)2^n+1 sen(alpha)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que, para qualquer número natural , o produto dos cossenos é igual a . Para resolver isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas que envolvem produtos de cossenos e expressões com seno.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como simplificar o produto dos cossenos. Sabemos que existe uma identidade trigonométrica que relaciona o produto de cossenos com uma expressão envolvendo seno. A identidade é:
Nosso objetivo é provar que essa identidade realmente funciona para qualquer número natural cos(a) cdot cos(2a) cdot cos(4a) cdot ldots cdot cos(2^na) = sen(2^n+1a)2^n+1 sen(a) .

Passo 3

Para provar essa identidade, vamos usar o método da indução matemática, que consiste em dois passos:
  1. Base da indução: Verificar se a igualdade vale para .
  2. Passo indutivo: Assumir que a igualdade vale para algum e mostrar que ela também vale para .

Passo 4

Base da Indução ( sen(2^0+1alpha)2^0+1 sen(alpha) = sen(2alpha)2 sen(alpha) )
Quando 2 sen(alpha) cos(alpha)2 sen(alpha) = cos(alpha) , o produto dos cossenos é apenas . Vamos ver se a identidade funciona:
Sabemos que , então substituindo:
Como , a base da indução está correta.

Passo 5

Passo Indutivo
Vamos supor que a identidade vale para cos(alpha) cdot cos(2alpha) cdot ldots cdot cos(2^kalpha) = sen(2^k+1alpha)2^k+1 sen(alpha) , ou seja:
Agora, precisamos mostrar que a igualdade também vale para cos(alpha) cdot cos(2alpha) cdot ldots cdot cos(2^kalpha) cdot cos(2^k+1alpha) :
sen(2^k+1alpha)2^k+1 sen(alpha) cdot cos(2^k+1alpha)
Usando a hipótese de indução:
Sabemos que , então:
Assim, a identidade também vale para 2 sen(2^k+1alpha) cos(2^k+1alpha)2^k+2 sen(alpha) = sen(2^k+2alpha)2^k+2 sen(alpha) .

Resposta

Portanto, por indução matemática, mostramos que para todo número natural cos (alpha) cdot cos (2 alpha) cdot cos (4 alpha) cdot cdots cdot cos (2^n alpha) = sen(2^n+1 alpha)2^n+1 sen (alpha) :

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