Para todo n in N, mostre que: 80 divide 3^(4 n) - 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrarmos que, para todo número natural , o número é divisível por 80. Isso envolve conceitos de divisibilidade e aritmética modular. Vamos precisar entender como trabalhar com potências e restos quando dividimos por números específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor o número 80 para facilitar a análise. Sabemos que:
Isso significa que, para mostrar que 80 divide , precisamos provar que 16 divide e que 5 divide .

Passo 3

Vamos começar analisando a divisibilidade por 16. Observe que:
E se dividirmos 81 por 16, temos:
Então,
Isso significa que deixa resto 1 quando dividido por 16.

Passo 4

Agora, elevando ambos os lados à potência , temos:
Simplificando,
Portanto,
Isso mostra que 16 divide .

Passo 5

Agora, vamos verificar a divisibilidade por 5. Sabemos que:
Dividindo 81 por 5:
Então,
Elevando à potência :
Simplificando,
Portanto,
Isso mostra que 5 divide .

Passo 6

Como mostramos que 16 divide e que 5 divide , e sabendo que 16 e 5 são fatores primos entre si (ou seja, coprimos), podemos concluir, pelo Teorema Chinês do Resto, que:

Resposta

Portanto, para todo , 80 divide .

Exercícios relacionados

Prove que, se n é um inteiro maior do que 1, então temos:
1 * 3 * 5 * ... * (2 n - 1) < n^n
Prove, para n in N, as seguintes proposições: 1/(1.5) + 1/(5.9) + 1/(9.13) + ... + 1/((4n-3)(4n+1)) = n/(4n+1)
Prove, para n in N, as seguintes proposições: 1.2^0 + 2.2^1 + 3.2^2 + ... + n * 2^(n-1) = 1 + (n-1) * 2^n
Prove, para n in N, as seguintes proposições: 1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + (2n-1)^2 = n(2n-1)(2n+1)/3