Para todo
, mostre que: 80 divide
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrarmos que, para todo número natural
, o número
é divisível por 80. Isso envolve conceitos de divisibilidade e aritmética modular. Vamos precisar entender como trabalhar com potências e restos quando dividimos por números específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor o número 80 para facilitar a análise. Sabemos que:
Isso significa que, para mostrar que 80 divide
, precisamos provar que 16 divide
e que 5 divide
.
Passo 3
Vamos começar analisando a divisibilidade por 16. Observe que:
E se dividirmos 81 por 16, temos:
Então,
Isso significa que
deixa resto 1 quando dividido por 16.
Passo 4
Agora, elevando ambos os lados à potência
, temos:
Simplificando,
Portanto,
Isso mostra que 16 divide
.
Passo 5
Agora, vamos verificar a divisibilidade por 5. Sabemos que:
Dividindo 81 por 5:
Então,
Elevando à potência
:
Simplificando,
Portanto,
Isso mostra que 5 divide
.
Passo 6
Como mostramos que 16 divide
e que 5 divide
, e sabendo que 16 e 5 são fatores primos entre si (ou seja, coprimos), podemos concluir, pelo Teorema Chinês do Resto, que:
Resposta
Portanto, para todo
, 80 divide
.
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Prove que, se
é um inteiro maior do que 1, então temos:
Prove, para
, as seguintes proposições:
Prove, para
, as seguintes proposições:
Prove, para
, as seguintes proposições: