Prove, para
, as seguintes proposições:
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos provar que, para qualquer número natural
, a soma
é igual a
.
Para resolver isso, vamos usar prova por indução matemática, que é uma técnica para provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais.
Passo 2
Base da indução: Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para
.
Calculemos o lado esquerdo da equação:
Agora, o lado direito da equação:
Ambos os lados são iguais a 1. Portanto, a base da indução é verdadeira.
Passo 3
Hipótese de indução: Vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum
. Ou seja, supomos que:
Passo 4
Passo indutivo: Precisamos mostrar que, se a hipótese de indução é verdadeira para
, então ela também é verdadeira para
. Ou seja, devemos provar que:
Vamos usar a hipótese de indução para substituir a soma até
:
Simplificando dentro dos colchetes:
Portanto, a igualdade se mantém verdadeira para
.
Resposta
Assim, por indução matemática, provamos que para todo
,
está correta.