Prove, para n in N, as seguintes proposições: 1.2^0 + 2.2^1 + 3.2^2 + ... + n * 2^(n-1) = 1 + (n-1) * 2^n

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos provar que, para qualquer número natural , a soma é igual a .
Para resolver isso, vamos usar prova por indução matemática, que é uma técnica para provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais.

Passo 2

Base da indução: Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para .
Calculemos o lado esquerdo da equação:
Agora, o lado direito da equação:
Ambos os lados são iguais a 1. Portanto, a base da indução é verdadeira.

Passo 3

Hipótese de indução: Vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum . Ou seja, supomos que:

Passo 4

Passo indutivo: Precisamos mostrar que, se a hipótese de indução é verdadeira para , então ela também é verdadeira para . Ou seja, devemos provar que:
Vamos usar a hipótese de indução para substituir a soma até :
Simplificando dentro dos colchetes:
Portanto, a igualdade se mantém verdadeira para .

Resposta

Assim, por indução matemática, provamos que para todo ,
está correta.

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