Prove que |-u|=|u|.

Passo 1

Vamos resumir a questão: precisamos provar que a norma de -u é igual à norma de u, ou seja, |-u| = |u|. Estamos trabalhando com Álgebra Linear, especificamente com normas de vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a norma de um vetor e como ela se comporta quando invertemos o vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a norma de um vetor. A norma, representada por |u|, é uma medida do “tamanho” ou “comprimento” do vetor u. Matematicamente, para um vetor u = (u1, u2, dots, un), a norma é definida como:
|u| = raizu1^2 + u2^2 + dots + un^2

Passo 3

Agora, consideremos o vetor -u. Esse vetor é simplesmente o vetor u multiplicado por -1. Se u = (u1, u2, dots, un), então:
-u = (-u1, -u2, dots, -un)

Passo 4

Vamos calcular a norma de -u usando a definição da norma:
|-u| = raiz(-u1)^2 + (-u2)^2 + dots + (-un)^2

Passo 5

Sabemos que o quadrado de um número negativo é igual ao quadrado do número positivo, ou seja, (-a)^2 = a^2 para qualquer número a. Aplicando isso:
|-u| = raizu1^2 + u2^2 + dots + un^2 = |u|

Resposta

|-u| = |u|

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