Prove que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa provar é que se um vetor
não é o vetor zero (ou seja,
), então a norma desse vetor, que a gente escreve como
, é maior do que zero. A gente vai usar conceitos de álgebra vetorial, especialmente sobre norma de vetores, para chegar nessa conclusão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a norma de um vetor. A norma, ou comprimento, de um vetor
é uma medida de quão “grande” é esse vetor no espaço. Ela é sempre um número não negativo.
Passo 3
A norma de um vetor
é calculada usando a fórmula:
onde
são as componentes do vetor
. Essa fórmula vem do Teorema de Pitágoras, generalizado para dimensões maiores.
Passo 4
Agora, se
, isso quer dizer que pelo menos uma das componentes do vetor
não é zero. Ou seja, existe pelo menos um
.
Passo 5
Se uma componente
é diferente de zero, então seu quadrado
é positivo, porque o quadrado de qualquer número diferente de zero é sempre maior que zero.
Passo 6
Já que pelo menos um dos
é positivo, a soma
será maior que zero. Mesmo que algumas outras componentes sejam zero, a presença de pelo menos um termo positivo garante que toda a soma também seja positiva.
Passo 7
Tomando a raiz quadrada de uma soma positiva, a gente consegue que
também é maior que zero. Isso porque a raiz de um número positivo é outro número positivo.
Resposta
Concluímos que se
, então
.
Exercícios relacionados
Defina dimensão e dê um exemplo de espaço vetorial com dimensão igual a 2024.
Prove que
.
Prove que
.
Determine o produto
para que se tenha
.