Prove que u neq 0 Rightarrow|u|>0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa provar é que se um vetor u não é o vetor zero (ou seja, u neq 0), então a norma desse vetor, que a gente escreve como |u|, é maior do que zero. A gente vai usar conceitos de álgebra vetorial, especialmente sobre norma de vetores, para chegar nessa conclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a norma de um vetor. A norma, ou comprimento, de um vetor u é uma medida de quão “grande” é esse vetor no espaço. Ela é sempre um número não negativo.

Passo 3

A norma de um vetor u é calculada usando a fórmula:
|u| = raizu1^2 + u2^2 + dots + un^2
onde u1, u2, dots, un são as componentes do vetor u. Essa fórmula vem do Teorema de Pitágoras, generalizado para dimensões maiores.

Passo 4

Agora, se u neq 0, isso quer dizer que pelo menos uma das componentes do vetor u não é zero. Ou seja, existe pelo menos um ui neq 0.

Passo 5

Se uma componente ui é diferente de zero, então seu quadrado ui^2 é positivo, porque o quadrado de qualquer número diferente de zero é sempre maior que zero.

Passo 6

Já que pelo menos um dos ui^2 é positivo, a soma u1^2 + u2^2 + dots + un^2 será maior que zero. Mesmo que algumas outras componentes sejam zero, a presença de pelo menos um termo positivo garante que toda a soma também seja positiva.

Passo 7

Tomando a raiz quadrada de uma soma positiva, a gente consegue que |u| também é maior que zero. Isso porque a raiz de um número positivo é outro número positivo.

Resposta

Concluímos que se u neq 0, então |u| > 0.

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