Prove que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa provar é que se um vetor não é o vetor zero (ou seja, ), então a norma desse vetor, que a gente escreve como , é maior do que zero. A gente vai usar conceitos de álgebra vetorial, especialmente sobre norma de vetores, para chegar nessa conclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a norma de um vetor. A norma, ou comprimento, de um vetor é uma medida de quão “grande” é esse vetor no espaço. Ela é sempre um número não negativo.

Passo 3

A norma de um vetor é calculada usando a fórmula:
onde são as componentes do vetor . Essa fórmula vem do Teorema de Pitágoras, generalizado para dimensões maiores.

Passo 4

Agora, se , isso quer dizer que pelo menos uma das componentes do vetor não é zero. Ou seja, existe pelo menos um .

Passo 5

Se uma componente é diferente de zero, então seu quadrado é positivo, porque o quadrado de qualquer número diferente de zero é sempre maior que zero.

Passo 6

Já que pelo menos um dos é positivo, a soma será maior que zero. Mesmo que algumas outras componentes sejam zero, a presença de pelo menos um termo positivo garante que toda a soma também seja positiva.

Passo 7

Tomando a raiz quadrada de uma soma positiva, a gente consegue que também é maior que zero. Isso porque a raiz de um número positivo é outro número positivo.

Resposta

Concluímos que se , então .

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Defina dimensão e dê um exemplo de espaço vetorial com dimensão igual a 2024.
Prove que .
Prove que .
Determine o produto para que se tenha .