Prove que
se, e somente se
e
são LD.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que o valor absoluto do produto escalar entre dois vetores
e
é igual ao produto das normas desses vetores, ou seja,
, se e somente se
e
são linearmente dependentes (LD). Vamos usar conceitos de produto escalar, normas e dependência linear para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto escalar entre dois vetores. O produto escalar
é dado por:
onde
e
são as normas (comprimentos) dos vetores, e
é o ângulo entre eles.
Passo 3
A norma de um vetor
é uma medida do seu tamanho e é calculada por:
para um vetor em
dimensões.
Passo 4
Agora, vamos analisar a igualdade dada:
Substituindo o produto escalar pela sua fórmula:
Passo 5
Vamos simplificar a equação. Como
e
são normas (sempre positivas ou zero), podemos dividir ambos os lados por
, assumindo que nenhum deles é zero:
Passo 6
A equação
significa que
pode ser
ou
. Isso ocorre quando o ângulo
é
ou
radianos, ou seja, os vetores são paralelos ou antiparalelos.
Passo 7
Se os vetores são paralelos ou antiparalelos, isso significa que um é múltiplo escalar do outro. Em termos de dependência linear, isso quer dizer que:
para algum escalar
. Portanto,
e
são linearmente dependentes.
Passo 8
Recapitulando, mostramos que se
, então
e
são linearmente dependentes. Além disso, se
e
são linearmente dependentes, então existe um escalar
tal que
, o que implica que
. Assim, a condição é válida se e somente se.
Resposta
Portanto, provamos que
se e somente se os vetores
e
são linearmente dependentes.