Prove que se, e somente se e são LD.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que o valor absoluto do produto escalar entre dois vetores e é igual ao produto das normas desses vetores, ou seja, , se e somente se e são linearmente dependentes (LD). Vamos usar conceitos de produto escalar, normas e dependência linear para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto escalar entre dois vetores. O produto escalar é dado por:
onde e são as normas (comprimentos) dos vetores, e é o ângulo entre eles.

Passo 3

A norma de um vetor é uma medida do seu tamanho e é calculada por:
para um vetor em dimensões.

Passo 4

Agora, vamos analisar a igualdade dada:
Substituindo o produto escalar pela sua fórmula:

Passo 5

Vamos simplificar a equação. Como e são normas (sempre positivas ou zero), podemos dividir ambos os lados por , assumindo que nenhum deles é zero:

Passo 6

A equação significa que pode ser ou . Isso ocorre quando o ângulo é ou radianos, ou seja, os vetores são paralelos ou antiparalelos.

Passo 7

Se os vetores são paralelos ou antiparalelos, isso significa que um é múltiplo escalar do outro. Em termos de dependência linear, isso quer dizer que:
para algum escalar . Portanto, e são linearmente dependentes.

Passo 8

Recapitulando, mostramos que se , então e são linearmente dependentes. Além disso, se e são linearmente dependentes, então existe um escalar tal que , o que implica que . Assim, a condição é válida se e somente se.

Resposta

Portanto, provamos que se e somente se os vetores e são linearmente dependentes.

Exercícios relacionados

Seja a transformação linear que satisfaz: e .
Determine a matriz tal que .
A entrada da matriz vale:
(A) 1
(B) 2
© 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8
(I) Não sei
Verifique se os seguintes conjuntos comas operações indicadas são anéis. Dos anéis, decida se é anel com unidade e se tem divisores de zero. Algum deles é corpo? Algum deles é anel de integridade?
a) , onde é o conjunto das matrizes quadradas de números reais, as operações de adição e multiplicação usuais de matrizes respectivamente.
Seja uma base de e uma matriz tal que
Se , então:
(A)
(B)
©
(D)
(F)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
Verifique se os seguintes conjuntos comas operações indicadas são anéis. Dos anéis, decida se é anel com unidade e se tem divisores de zero. Algum deles é corpo? Algum deles é anel de integridade?
b) considerando as operações , definidas por: