Prove que |a cdot y|=||a |||b|| se, e somente se a e b são LD.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que o valor absoluto do produto escalar entre dois vetores a e b é igual ao produto das normas desses vetores, ou seja, |a cdot b| = ||a|| ||b||, se e somente se a e b são linearmente dependentes (LD). Vamos usar conceitos de produto escalar, normas e dependência linear para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto escalar entre dois vetores. O produto escalar a cdot b é dado por:
a cdot b = ||a|| ||b|| cos(theta)
onde ||a|| e ||b|| são as normas (comprimentos) dos vetores, e theta é o ângulo entre eles.

Passo 3

A norma de um vetor a é uma medida do seu tamanho e é calculada por:
||a|| = raiza1^2 + a2^2 + dots + an^2
para um vetor em n dimensões.

Passo 4

Agora, vamos analisar a igualdade dada:
|a cdot b| = ||a|| ||b||
Substituindo o produto escalar pela sua fórmula:
| ||a|| ||b|| cos(theta) | = ||a|| ||b||

Passo 5

Vamos simplificar a equação. Como ||a|| e ||b|| são normas (sempre positivas ou zero), podemos dividir ambos os lados por ||a|| ||b||, assumindo que nenhum deles é zero:
|cos(theta)| = 1

Passo 6

A equação |cos(theta)| = 1 significa que cos(theta) pode ser 1 ou -1. Isso ocorre quando o ângulo theta é 0 ou pi radianos, ou seja, os vetores são paralelos ou antiparalelos.

Passo 7

Se os vetores são paralelos ou antiparalelos, isso significa que um é múltiplo escalar do outro. Em termos de dependência linear, isso quer dizer que:
a = k b ou b = k a
para algum escalar k. Portanto, a e b são linearmente dependentes.

Passo 8

Recapitulando, mostramos que se |a cdot b| = ||a|| ||b||, então a e b são linearmente dependentes. Além disso, se a e b são linearmente dependentes, então existe um escalar k tal que a = k b, o que implica que |a cdot b| = ||a|| ||b||. Assim, a condição é válida se e somente se.

Resposta

Portanto, provamos que |a cdot b| = ||a|| ||b|| se e somente se os vetores a e b são linearmente dependentes.

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