Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que o valor absoluto do produto escalar entre dois vetores e é igual ao produto das normas desses vetores, ou seja, , se e somente se e são linearmente dependentes (LD). Vamos usar conceitos de produto escalar, normas e dependência linear para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto escalar entre dois vetores. O produto escalar é dado por:
onde e são as normas (comprimentos) dos vetores, e é o ângulo entre eles.
Passo 3
A norma de um vetor é uma medida do seu tamanho e é calculada por:
para um vetor em dimensões.
Passo 4
Agora, vamos analisar a igualdade dada:
Substituindo o produto escalar pela sua fórmula:
Passo 5
Vamos simplificar a equação. Como e são normas (sempre positivas ou zero), podemos dividir ambos os lados por , assumindo que nenhum deles é zero:
Passo 6
A equação significa que pode ser ou . Isso ocorre quando o ângulo é ou radianos, ou seja, os vetores são paralelos ou antiparalelos.
Passo 7
Se os vetores são paralelos ou antiparalelos, isso significa que um é múltiplo escalar do outro. Em termos de dependência linear, isso quer dizer que:
para algum escalar . Portanto, e são linearmente dependentes.
Passo 8
Recapitulando, mostramos que se , então e são linearmente dependentes. Além disso, se e são linearmente dependentes, então existe um escalar tal que , o que implica que . Assim, a condição é válida se e somente se.
Resposta
Portanto, provamos que se e somente se os vetores e são linearmente dependentes.