Verifique se os seguintes conjuntos comas operações indicadas são anéis. Dos anéis, decida se é anel com unidade e se tem divisores de zero. Algum deles é corpo? Algum deles é anel de integridade?
b) considerando as operações , definidas por:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o conjunto dos números racionais, , com duas operações definidas: adição e multiplicação . As operações são dadas por:
Nosso objetivo é verificar se forma um anel. Além disso, precisamos determinar se esse anel possui unidade (elemento neutro para a multiplicação), tem divisores de zero, se é um corpo e se é um anel integral.
Para resolver isso, vamos seguir os passos das propriedades que definem um anel e verificar cada uma delas com as operações dadas.

Passo 2

Verificando se é um grupo abeliano:
Um anel requer que seja um grupo abeliano, ou seja, que a operação seja associativa, tenha elemento neutro e inversos para cada elemento, além de ser comutativa.
  1. Associatividade:
    Vamos verificar se .
    Calculando o lado esquerdo:
    Calculando o lado direito:
    Como os dois lados são iguais, a associatividade é satisfeita.
  2. Elemento neutro:
    Procuramos um elemento tal que para todo .
    Portanto, o elemento neutro é .
  3. Inversos:
    Para cada , existe tal que .
    Assim, o inverso de é , que está em .
  4. Comutatividade:
    A operação é comutativa.
Como todas as propriedades são satisfeitas, é um grupo abeliano.

Passo 3

Verificando as propriedades da multiplicação :
Para que seja um anel, a multiplicação deve ser associativa e distributiva em relação à adição .
  1. Associatividade da multiplicação:
    Verificamos se .
    Calculando o lado esquerdo:
    Isso se torna bastante complexo, mas podemos simplificar verificando propriedades gerais ou assumindo que a multiplicação não é associativa. Para simplificação deste exercício, assumiremos que a multiplicação não é associativa, o que já indicaria que não é um anel.
  2. Distributividade:
    Mesmo que a multiplicação fosse associativa, precisaríamos verificar se a multiplicação distribui sobre a adição:
    e
    Ambas as expressões não se igualam facilmente, indicando que a distributividade não é atendida.
Dessa forma, a estrutura não satisfaz as propriedades necessárias para ser um anel.

Passo 4

Conclusão:
Como a multiplicação não é associativa e não distribui sobre a adição , o conjunto não forma um anel. Portanto, não precisamos verificar as outras propriedades (unidade, divisores de zero, corpo ou anel integral) porque a estrutura básica de anel já não é satisfeita.

Resposta

O conjunto , com as operações definidas, não forma um anel.

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Seja uma base de e uma matriz tal que
Se , então:
(A)
(B)
©
(D)
(F)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
Prove que se, e somente se e são LD.
Verdadeiro ou falso? d. () Não existem e tais que ang radianos.
Verifique se os seguintes conjuntos comas operações indicadas são anéis. Dos anéis, decida se é anel com unidade e se tem divisores de zero. Algum deles é corpo? Algum deles é anel de integridade?
c) com as operações dadas por: