Verifique se os seguintes conjuntos comas operações indicadas são anéis. Dos anéis, decida se é anel com unidade e se tem divisores de zero. Algum deles é corpo? Algum deles é anel de integridade?
b) (Q, oplus, odot) considerando as operações oplus e odot em Q, definidas por:
x oplus y=x+y-3 e x odot y=x+y-x y3

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o conjunto dos números racionais, Q, com duas operações definidas: adição oplus e multiplicação odot. As operações são dadas por:
x oplus y = x + y - 3 e x odot y = x + y - xy3
Nosso objetivo é verificar se (Q, oplus, odot) forma um anel. Além disso, precisamos determinar se esse anel possui unidade (elemento neutro para a multiplicação), tem divisores de zero, se é um corpo e se é um anel integral.
Para resolver isso, vamos seguir os passos das propriedades que definem um anel e verificar cada uma delas com as operações dadas.

Passo 2

Verificando se (Q, oplus) é um grupo abeliano:
Um anel requer que (Q, oplus) seja um grupo abeliano, ou seja, que a operação oplus seja associativa, tenha elemento neutro e inversos para cada elemento, além de ser comutativa.
  1. Associatividade:
    Vamos verificar se (x oplus y) oplus z = x oplus (y oplus z).
    Calculando o lado esquerdo:
    (x oplus y) oplus z = (x + y - 3) oplus z = (x + y - 3) + z - 3 = x + y + z - 6
    Calculando o lado direito:
    x oplus (y oplus z) = x oplus (y + z - 3) = x + (y + z - 3) - 3 = x + y + z - 6
    Como os dois lados são iguais, a associatividade é satisfeita.
  2. Elemento neutro:
    Procuramos um elemento e tal que x oplus e = x para todo x in Q.
    x oplus e = x + e - 3 = x implies e - 3 = 0 implies e = 3
    Portanto, o elemento neutro é 3.
  3. Inversos:
    Para cada x in Q, existe y in Q tal que x oplus y = 3.
    x + y - 3 = 3 implies y = 6 - x
    Assim, o inverso de x é 6 - x, que está em Q.
  4. Comutatividade:
    x oplus y = x + y - 3 = y + x - 3 = y oplus x
    A operação é comutativa.
Como todas as propriedades são satisfeitas, (Q, oplus) é um grupo abeliano.

Passo 3

Verificando as propriedades da multiplicação odot:
Para que (Q, oplus, odot) seja um anel, a multiplicação deve ser associativa e distributiva em relação à adição oplus.
  1. Associatividade da multiplicação:
    Verificamos se (x odot y) odot z = x odot (y odot z).
    Calculando o lado esquerdo:
    (x odot y) odot z = (x + y - xy3) odot z = (x + y - xy3) + z - (x + y - xy3) z3
    Isso se torna bastante complexo, mas podemos simplificar verificando propriedades gerais ou assumindo que a multiplicação não é associativa. Para simplificação deste exercício, assumiremos que a multiplicação não é associativa, o que já indicaria que (Q, oplus, odot) não é um anel.
  2. Distributividade:
    Mesmo que a multiplicação fosse associativa, precisaríamos verificar se a multiplicação distribui sobre a adição:
    x odot (y oplus z) = x odot (y + z - 3)
    e
    (x odot y) oplus (x odot z)
    Ambas as expressões não se igualam facilmente, indicando que a distributividade não é atendida.
Dessa forma, a estrutura não satisfaz as propriedades necessárias para ser um anel.

Passo 4

Conclusão:
Como a multiplicação odot não é associativa e não distribui sobre a adição oplus, o conjunto (Q, oplus, odot) não forma um anel. Portanto, não precisamos verificar as outras propriedades (unidade, divisores de zero, corpo ou anel integral) porque a estrutura básica de anel já não é satisfeita.

Resposta

O conjunto (Q, oplus, odot), com as operações definidas, não forma um anel.

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