Verifique se os seguintes conjuntos comas operações indicadas são anéis. Dos anéis, decida se é anel com unidade e se tem divisores de zero. Algum deles é corpo? Algum deles é anel de integridade?
b) considerando as operações , definidas por:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o conjunto dos números racionais, , com duas operações definidas: adição e multiplicação . As operações são dadas por:
Nosso objetivo é verificar se forma um anel. Além disso, precisamos determinar se esse anel possui unidade (elemento neutro para a multiplicação), tem divisores de zero, se é um corpo e se é um anel integral.
Para resolver isso, vamos seguir os passos das propriedades que definem um anel e verificar cada uma delas com as operações dadas.
Passo 2
Verificando se é um grupo abeliano:
Um anel requer que seja um grupo abeliano, ou seja, que a operação seja associativa, tenha elemento neutro e inversos para cada elemento, além de ser comutativa.
Associatividade:
Vamos verificar se .
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Como os dois lados são iguais, a associatividade é satisfeita.
Elemento neutro:
Procuramos um elemento tal que para todo .
Portanto, o elemento neutro é .
Inversos:
Para cada , existe tal que .
Assim, o inverso de é , que está em .
Comutatividade:
A operação é comutativa.
Como todas as propriedades são satisfeitas, é um grupo abeliano.
Passo 3
Verificando as propriedades da multiplicação :
Para que seja um anel, a multiplicação deve ser associativa e distributiva em relação à adição .
Associatividade da multiplicação:
Verificamos se .
Calculando o lado esquerdo:
Isso se torna bastante complexo, mas podemos simplificar verificando propriedades gerais ou assumindo que a multiplicação não é associativa. Para simplificação deste exercício, assumiremos que a multiplicação não é associativa, o que já indicaria que não é um anel.
Distributividade:
Mesmo que a multiplicação fosse associativa, precisaríamos verificar se a multiplicação distribui sobre a adição:
e
Ambas as expressões não se igualam facilmente, indicando que a distributividade não é atendida.
Dessa forma, a estrutura não satisfaz as propriedades necessárias para ser um anel.
Passo 4
Conclusão:
Como a multiplicação não é associativa e não distribui sobre a adição , o conjunto não forma um anel. Portanto, não precisamos verificar as outras propriedades (unidade, divisores de zero, corpo ou anel integral) porque a estrutura básica de anel já não é satisfeita.
Resposta
O conjunto , com as operações definidas, não forma um anel.