Verifique se os seguintes conjuntos comas operações indicadas são anéis. Dos anéis, decida se é anel com unidade e se tem divisores de zero. Algum deles é corpo? Algum deles é anel de integridade?
b)
considerando as operações
, definidas por:
b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o conjunto dos números racionais,
, com duas operações definidas: adição
e multiplicação
. As operações são dadas por:
Nosso objetivo é verificar se
forma um anel. Além disso, precisamos determinar se esse anel possui unidade (elemento neutro para a multiplicação), tem divisores de zero, se é um corpo e se é um anel integral.
Para resolver isso, vamos seguir os passos das propriedades que definem um anel e verificar cada uma delas com as operações dadas.
Passo 2
Verificando se
é um grupo abeliano:
Um anel requer que
seja um grupo abeliano, ou seja, que a operação
seja associativa, tenha elemento neutro e inversos para cada elemento, além de ser comutativa.
-
Associatividade:
Vamos verificar se. Calculando o lado esquerdo:Calculando o lado direito:Como os dois lados são iguais, a associatividade é satisfeita. -
Elemento neutro:
Procuramos um elementotal que para todo . Portanto, o elemento neutro é. -
Inversos:
Para cada, existe tal que . Assim, o inverso deé , que está em . -
Comutatividade:A operação é comutativa.
Como todas as propriedades são satisfeitas,
é um grupo abeliano.
Passo 3
Verificando as propriedades da multiplicação
:
Para que
seja um anel, a multiplicação deve ser associativa e distributiva em relação à adição
.
-
Associatividade da multiplicação:
Verificamos se. Calculando o lado esquerdo:Isso se torna bastante complexo, mas podemos simplificar verificando propriedades gerais ou assumindo que a multiplicação não é associativa. Para simplificação deste exercício, assumiremos que a multiplicação não é associativa, o que já indicaria quenão é um anel. -
Distributividade:
Mesmo que a multiplicação fosse associativa, precisaríamos verificar se a multiplicação distribui sobre a adição:eAmbas as expressões não se igualam facilmente, indicando que a distributividade não é atendida.
Dessa forma, a estrutura não satisfaz as propriedades necessárias para ser um anel.
Passo 4
Conclusão:
Como a multiplicação
não é associativa e não distribui sobre a adição
, o conjunto
não forma um anel. Portanto, não precisamos verificar as outras propriedades (unidade, divisores de zero, corpo ou anel integral) porque a estrutura básica de anel já não é satisfeita.
Resposta
O conjunto
, com as operações definidas, não forma um anel.