Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma base beta = v1, v2, v3 de R^3 e uma matriz A que age sobre esses vetores da seguinte forma:
A v1 = 4 v1, A v2 = v1 - 4 v3, A v3 = v1 - 4 v3
Além disso, temos a matriz M = [v1 , v2 , v3]. O objetivo é identificar qual das opções dadas relaciona A, M e uma matriz específica de forma correta. Vamos precisar usar conceitos de transformação linear e de como representar matrizes em diferentes bases.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a matriz A age na base beta. Sabemos que:
A v1 = 4 v1
A v2 = v1 - 4 v3
A v3 = v1 - 4 v3
Isso significa que, se representarmos A na base beta, a ação de A em cada vetor da base pode ser expressa em termos das combinações lineares desses vetores.
Passo 3
Vamos construir a matriz A na base beta. Sabemos que: