Seja beta=v1, v2, v3 uma base de R^3 e A uma matriz 3 times 3 tal que
A v1=4 v1, A v2=v1-4 v3 e A v3=v1-4 v3
Se M=[v1 v2 v3], então:
(A) M A=[rrr4 & 1 & 1 0 & 0 & 0 0 & -4 & -4] M
(B) A M=M[rrr4 & -4 & 4 0 & 0 & 0 0 & 1 & 1]
© A M=M[rrr4 & 0 & 0 1 & 0 & -4 1 & 0 & -4]
(D) M A=[rrr4 & 0 & 0 1 & 0 & -4 1 & 0 & -4] M
(F) A M=M[rrr4 & 1 & 1 0 & -4 & -4 0 & 0 & 0]
(F) M A=[rrr4 & -4 & 4 0 & 0 & 0 0 & 1 & 1] M
(G) A M=M[rrr4 & 1 & 1 0 & 0 & 0 0 & -4 & -4]
(H) M A=[rrr4 & 1 & 1 0 & -4 & -4 0 & 0 & 0] M
(I) Não sei

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma base beta = v1, v2, v3 de R^3 e uma matriz A que age sobre esses vetores da seguinte forma:
A v1 = 4 v1, A v2 = v1 - 4 v3, A v3 = v1 - 4 v3
Além disso, temos a matriz M = [v1 , v2 , v3]. O objetivo é identificar qual das opções dadas relaciona A, M e uma matriz específica de forma correta. Vamos precisar usar conceitos de transformação linear e de como representar matrizes em diferentes bases.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a matriz A age na base beta. Sabemos que:
  • A v1 = 4 v1
  • A v2 = v1 - 4 v3
  • A v3 = v1 - 4 v3
Isso significa que, se representarmos A na base beta, a ação de A em cada vetor da base pode ser expressa em termos das combinações lineares desses vetores.

Passo 3

Vamos construir a matriz A na base beta. Sabemos que:
A v1 = 4 v1 + 0 v2 + 0 v3 A v2 = 1 v1 + 0 v2 - 4 v3 A v3 = 1 v1 + 0 v2 - 4 v3
Portanto, a matriz que representa A na base beta é:
[A]beta = 4 & 1 & 1 0 & 0 & 0 0 & -4 & -4

Passo 4

Sabemos que A M representa a aplicação de A nas colunas de M. Ou seja:
A M = [ A v1 , A v2 , A v3 ] = [ 4 v1 , v1 - 4 v3 , v1 - 4 v3 ]
Por outro lado, M [A]beta representa a multiplicação da matriz M pela matriz de A na base beta:
M [A]beta = M 4 & 1 & 1 0 & 0 & 0 0 & -4 & -4 = [ 4 v1 , v1 - 4 v3 , v1 - 4 v3 ]
Observamos que:
A M = M [A]beta

Passo 5

Comparando com as opções fornecidas, vemos que a relação encontrada corresponde à opção (G):
A M = M 4 & 1 & 1 0 & 0 & 0 0 & -4 & -4

Resposta

(G) A M=M[rrr4 & 1 & 1 0 & 0 & 0 0 & -4 & -4]

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