Prove $|x-y| æ|x|-|y|
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é provar que
. Esse tipo de problema está ligado ao que a gente chama de desigualdade do triângulo, que é uma ferramenta super útil na matemática para trabalhar com valores absolutos. Para resolver isso, a gente vai precisar entender um pouquinho sobre propriedades de valores absolutos e como manipulá-los em inequações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o valor absoluto de um número,
, representa a distância desse número até zero na reta numérica. Isso significa que
sempre é um número positivo ou zero.
Passo 3
Agora, vamos observar a desigualdade que queremos provar:
. Para facilitar, vamos usar uma propriedade conhecida dos valores absolutos chamada desigualdade triangular reversa. Essa propriedade nos diz que:
Ou seja, a diferença entre os valores absolutos de
e
é menor ou igual ao valor absoluto da soma ou da diferença de
e
.
Passo 4
Aplicando essa propriedade específica, vamos considerar a diferença
. Então, de acordo com a desigualdade triangular reversa:
O que exatamente queremos provar! Isso nos mostra que
é, de fato, maior ou igual a
.
Passo 5
Para finalizar, vamos entender por que isso faz sentido. Pense que
é a distância de
até zero e
é a distância de
até zero. Quando a gente subtrai
de
, a distância entre
e
(ou seja,
) nunca será menor do que a diferença das distâncias individuais de cada um até zero.
Resposta
Portanto, provamos que
usando a desigualdade triangular reversa.