Prove $|x-y| æ|x|-|y|

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é provar que . Esse tipo de problema está ligado ao que a gente chama de desigualdade do triângulo, que é uma ferramenta super útil na matemática para trabalhar com valores absolutos. Para resolver isso, a gente vai precisar entender um pouquinho sobre propriedades de valores absolutos e como manipulá-los em inequações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o valor absoluto de um número, , representa a distância desse número até zero na reta numérica. Isso significa que sempre é um número positivo ou zero.

Passo 3

Agora, vamos observar a desigualdade que queremos provar: . Para facilitar, vamos usar uma propriedade conhecida dos valores absolutos chamada desigualdade triangular reversa. Essa propriedade nos diz que:
Ou seja, a diferença entre os valores absolutos de e é menor ou igual ao valor absoluto da soma ou da diferença de e .

Passo 4

Aplicando essa propriedade específica, vamos considerar a diferença . Então, de acordo com a desigualdade triangular reversa:
O que exatamente queremos provar! Isso nos mostra que é, de fato, maior ou igual a .

Passo 5

Para finalizar, vamos entender por que isso faz sentido. Pense que é a distância de até zero e é a distância de até zero. Quando a gente subtrai de , a distância entre e (ou seja, ) nunca será menor do que a diferença das distâncias individuais de cada um até zero.

Resposta

Portanto, provamos que usando a desigualdade triangular reversa.

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