Suponha r > 0. Prove: $|x|>r \Leftrightarrow x<-r ou x>r

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que provar que, para qualquer número real , a desigualdade é equivalente a dizer que ou . Vamos precisar usar os conceitos de valor absoluto e propriedades das desigualdades.

Passo 2

Vamos começar lembrando o que significa . O valor absoluto de , representado por , é a distância de até zero na reta numérica. Então, significa que a distância de até zero é maior que .

Passo 3

Para resolver a desigualdade , precisamos considerar as duas situações onde a distância de até zero é maior que :
  1. está à direita de na reta numérica, ou seja, .
  2. está à esquerda de na reta numérica, ou seja, .

Passo 4

Assim, a desigualdade se traduz nas duas condições que mencionamos:

Passo 5

Portanto, demonstramos que é equivalente a ou , comprovando a afirmação inicial.

Resposta

Concluímos que é equivalente a ou .

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