Suponha
. Prove: $|x|>r \Leftrightarrow x<-r ou x>r
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que provar que, para qualquer número real
, a desigualdade
é equivalente a dizer que
ou
. Vamos precisar usar os conceitos de valor absoluto e propriedades das desigualdades.
Passo 2
Vamos começar lembrando o que significa
. O valor absoluto de
, representado por
, é a distância de
até zero na reta numérica. Então,
significa que a distância de
até zero é maior que
.
Passo 3
Para resolver a desigualdade
, precisamos considerar as duas situações onde a distância de
até zero é maior que
:
-
está à direita de na reta numérica, ou seja, . -
está à esquerda de na reta numérica, ou seja, .
Passo 4
Assim, a desigualdade
se traduz nas duas condições que mencionamos:
Passo 5
Portanto, demonstramos que
é equivalente a
ou
, comprovando a afirmação inicial.
Resposta
Concluímos que
é equivalente a
ou
.