Prove que: O produto de um número racional não nulo com um número irracional é um número irracional. E se o número racional for zero, o que ocorre?

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para provar duas coisas:
  1. Se a gente multiplica um número racional que não é zero por um número irracional, o resultado é um número irracional.
  2. E se o número racional for zero, o que acontece com o resultado?
Vamos precisar entender o que são números racionais e irracionais, e como eles se comportam quando a gente multiplica um com o outro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um número racional. Um número racional é qualquer número que pode ser escrito como uma fração , onde e são inteiros e . Por exemplo, são todos racionais.
Já um número irracional é aquele que não pode ser escrito como uma fração simples. Ele tem uma expansão decimal infinita e não periódica. Exemplos famosos são , e .

Passo 3

Agora, vamos provar que o produto de um número racional não nulo com um número irracional é irracional. A gente vai fazer isso usando contradição. Ou seja, vamos supor que o produto é racional e mostrar que isso leva a um absurdo.
Vamos chamar o número racional de (com ) e o número irracional de . Suponha que , onde é racional.
Então, temos:
Como , podemos isolar :
Mas e são racionais, e a divisão de dois racionais (com ) também é racional. Ou seja, isso implicaria que é racional.
Mas isso é uma contradição, porque era suposto ser irracional! Logo, nossa suposição inicial de que é racional está errada. Portanto, o produto deve ser irracional.

Passo 4

Agora, vamos ver o que acontece se o número racional for zero. Seja e um número irracional.
Multiplicando:
O resultado é zero, que é um número racional. Então, se o número racional for zero, o produto com qualquer número (seja ele racional ou irracional) sempre dá zero, que é racional.

Resposta

Portanto, concluímos que:
  1. O produto de um número racional não nulo com um número irracional é sempre um número irracional.
  2. Se o número racional for zero, o produto é zero, que é um número racional.

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