Verifique quais das funções abaixo são soluções da equação do calor u_t = k u_xx, para alguma escolha conveniente de k.
u(x, t) = e^(-t) sen^3(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e precisa verificar se ela resolve a equação do calor, que é , onde é uma constante que a gente quer encontrar. Basicamente, vamos calcular as derivadas de em relação ao tempo e ao espaço , e ver se dá pra encontrar um valor de que satisfaça essa igualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de em relação ao tempo , que é . Como , a única parte que depende de é . Derivando isso em relação a , temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de em relação ao espaço , que é . Primeiro, vamos achar a primeira derivada :
Agora, derivamos novamente em relação a para encontrar :
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos colocar e na equação do calor e resolver para :
Podemos dividir ambos os lados por (que nunca é zero):
Agora, vamos isolar :
Simplificando mais, dividindo numerador e denominador por 3:

Resposta

A função é solução da equação do calor com .

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