Verifique quais das funções abaixo são soluções da equação do calor
, para alguma escolha conveniente de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e precisa verificar se ela resolve a equação do calor, que é
, onde
é uma constante que a gente quer encontrar. Basicamente, vamos calcular as derivadas de
em relação ao tempo
e ao espaço
, e ver se dá pra encontrar um valor de
que satisfaça essa igualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
em relação ao tempo
, que é
. Como , a única parte que depende de
é
. Derivando isso em relação a
, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação ao espaço
, que é
. Primeiro, vamos achar a primeira derivada
:
Agora, derivamos novamente em relação a
para encontrar
:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos colocar
e
na equação do calor
e resolver para
:
Podemos dividir ambos os lados por
(que nunca é zero):
Agora, vamos isolar
:
Simplificando mais, dividindo numerador e denominador por 3:
Resposta
A função é solução da equação do calor
com .
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Verifique quais das funções abaixo são soluções da equação do calor
, para alguma escolha conveniente de
.
.
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