Verifique quais das funções abaixo são soluções da equação do calor u_t = k u_xx, para alguma escolha conveniente de k.
u(x, t) = sen(3x) sen(4t).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos verificar se a função é uma solução da equação do calor, que é dada por:
Aqui, é a derivada de em relação ao tempo , e é a segunda derivada de em relação ao espaço . O objetivo é encontrar um valor de que faça essa igualdade funcionar.

Passo 2

Vamos começar calculando , ou seja, a derivada de em relação a . A função dada é . Derivando em relação a :

Passo 3

Agora, vamos calcular , ou seja, a segunda derivada de em relação a . Derivando a função duas vezes em relação a :

Passo 4

Agora que temos e , vamos substituir na equação do calor:
Podemos simplificar ambos os lados dividindo por (supondo que ):

Passo 5

Para que a igualdade seja válida para todos os valores de , os coeficientes de e devem ser zero ou proporcionais de uma maneira que permita a igualdade. Porém, isso só é possível se ambos os lados forem iguais a zero, já que e são funções independentes. Isso implicaria que e , o que não é possível.

Resposta

A função não é uma solução da equação do calor para nenhum valor de .

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