Verifique quais das funções abaixo são soluções da equação do calor
, para alguma escolha conveniente de
.
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos verificar se a função
é uma solução da equação do calor, que é dada por:
Aqui,
é a derivada de
em relação ao tempo
, e
é a segunda derivada de
em relação ao espaço
. O objetivo é encontrar um valor de
que faça essa igualdade funcionar.
Passo 2
Vamos começar calculando
, ou seja, a derivada de
em relação a
. A função dada é
. Derivando em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos calcular
, ou seja, a segunda derivada de
em relação a
. Derivando a função duas vezes em relação a
:
Passo 4
Agora que temos
e
, vamos substituir na equação do calor:
Podemos simplificar ambos os lados dividindo por
(supondo que
):
Passo 5
Para que a igualdade seja válida para todos os valores de
, os coeficientes de
e
devem ser zero ou proporcionais de uma maneira que permita a igualdade. Porém, isso só é possível se ambos os lados forem iguais a zero, já que
e
são funções independentes. Isso implicaria que
e
, o que não é possível.
Resposta
A função
não é uma solução da equação do calor para nenhum valor de
.
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