Prove que
é uma relação de ordem em
. OBS: A presença de
em
nos diz que
é menor ou igual a
. Além disto, a ordem que inicialmente tínhamos em cada
é preservada.
Passo 1
O enunciado pede para provar que a relação
é uma relação de ordem no conjunto
. Vamos usar os conceitos de reflexividade, antisimetricidade e transitividade, que são as propriedades necessárias para uma relação ser considerada uma ordem. Precisaremos verificar cada uma dessas propriedades para
.
Passo 2
Reflexividade: Uma relação é reflexiva se todo elemento está relacionado consigo mesmo. Como
e
e
preservam a ordem em
e
respectivamente, temos que para todo
,
ou
. Portanto,
, garantindo que
é reflexiva.
Passo 3
Antisimetricidade: Uma relação é antisimpla se, sempre que
e
, então
. Suponha que
e
. Se
e
estiverem no mesmo conjunto
ou
, a antisimetricidade de
ou
respectivamente nos garante que
. Se
e
, pela presença de
em
, temos
, mas
não pode estar relacionado a
a menos que
, o que não acontece porque
e
são disjuntos. Portanto,
é antisimétrica.
Passo 4
Transitividade: Uma relação é transitiva se, sempre que
e
, então
. Considerando as diferentes combinações de onde
pertencem (a
ou
), e usando a transitividade de
,
e a relação
, podemos verificar que
sempre estará em
. Portanto,
é transitiva.
Resposta
Assim,
satisfaz as propriedades de reflexividade, antisimetricidade e transitividade, sendo portanto uma relação de ordem em
.