Prove que é uma relação de ordem em . OBS: A presença de em nos diz que é menor ou igual a . Além disto, a ordem que inicialmente tínhamos em cada é preservada.

Passo 1

O enunciado pede para provar que a relação é uma relação de ordem no conjunto . Vamos usar os conceitos de reflexividade, antisimetricidade e transitividade, que são as propriedades necessárias para uma relação ser considerada uma ordem. Precisaremos verificar cada uma dessas propriedades para .

Passo 2

Reflexividade: Uma relação é reflexiva se todo elemento está relacionado consigo mesmo. Como e e preservam a ordem em e respectivamente, temos que para todo , ou . Portanto, , garantindo que é reflexiva.

Passo 3

Antisimetricidade: Uma relação é antisimpla se, sempre que e , então . Suponha que e . Se e estiverem no mesmo conjunto ou , a antisimetricidade de ou respectivamente nos garante que . Se e , pela presença de em , temos , mas não pode estar relacionado a a menos que , o que não acontece porque e são disjuntos. Portanto, é antisimétrica.

Passo 4

Transitividade: Uma relação é transitiva se, sempre que e , então . Considerando as diferentes combinações de onde pertencem (a ou ), e usando a transitividade de , e a relação , podemos verificar que sempre estará em . Portanto, é transitiva.

Resposta

Assim, satisfaz as propriedades de reflexividade, antisimetricidade e transitividade, sendo portanto uma relação de ordem em .

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