Sejam A, B e C pontos do plano. Prove que as seguintes afirmações são equivalentes:
a) lang<=A B, A Crang<==|A B|^2
b) As retas A B e B C são perpendiculares.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três pontos no plano: A, B e C. A questão pede para provar que duas afirmações são equivalentes:
a) O produto interno dos vetores AB e AC é igual ao quadrado do comprimento de AB:
lang<= AB, AC rang<= = |AB|^2
b) As retas AB e BC são perpendiculares.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como produto interno e perpendicularidade. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o produto interno de dois vetores. O produto interno de u e v é dado por:
lang<= u, v rang<= = |u| cdot |v| cdot cos(theta)
Onde lang<= AB, AC rang<= = |AB|^2 é o ângulo entre os vetores.
No caso da afirmação a), temos:
|AB| cdot |AC| cdot cos(theta) = |AB|^2
Isso implica que:
|AC| cdot cos(theta) = |AB|
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por (desde que ):

Passo 3

Agora, vamos analisar a afirmação b): as retas AB e BC são perpendiculares. Isso significa que o ângulo entre os vetores AB e BC é de 90 graus.
Sabemos que quando dois vetores são perpendiculares, o produto interno deles é zero:
lang<= AB, BC rang<= = 0
Vamos relacionar isso com a afirmação a). Observe que:
AC = AB + BC
Substituindo na afirmação a):
lang<= AB, AB + BC rang<= = |AB|^2
Distribuindo o produto interno:
lang<= AB, AB rang<= + lang<= AB, BC rang<= = |AB|^2
Sabemos que |AB|^2 + lang<= AB, BC rang<= = |AB|^2 , então:
lang<= AB, BC rang<= = 0
Isso implica que:
O que significa que AB e BC são perpendiculares.

Passo 4

Agora, vamos fazer o caminho inverso: assumir que as retas AB e BC são perpendiculares e mostrar que a afirmação a) é verdadeira.
Se AB e BC são perpendiculares, então:
lang<= AB, BC rang<= = 0
Lembrando que:
AC = AB + BC
Calculando o produto interno de AB e AC:
lang<= AB, AC rang<= = lang<= AB, AB + BC rang<= = lang<= AB, AB rang<= + lang<= AB, BC rang<= = |AB|^2 + 0 = |AB|^2
Assim, a afirmação a) é satisfeita.

Resposta

Portanto, provamos que as afirmações a) e b) são equivalentes: se o produto interno de AB e AC é igual ao quadrado de AB, então as retas AB e BC são perpendiculares, e vice-versa.

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