Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe está falando sobre base de um espaço vetorial, que é um conceito da Álgebra Linear. Basicamente, uma base é um conjunto de vetores que geram todo o espaço (ou subespaço) e que são linearmente independentes. Aqui, temos dois vetores e e queremos saber se eles formam uma base para o espaço . Para resolver isso, a gente precisa verificar duas coisas:
Linearmente independentes: Nenhum dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear do outro.
Geram o espaço : Qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores.
Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se e são linearmente independentes. Para isso, consideramos a combinação linear deles igual a zero:
Ou seja,
Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema. Observamos que as equações 1 e 4 são idênticas, e as equações 2 e 3 também são iguais. Então, acabamos com:
a + b = 0 a + 2b = 0
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(a + 2b) - (a + b) = 0 - 0 b = 0
Substituindo a + 0 = 0 a = 0 na primeira equação:
Passo 4
A única solução para esse sistema é e . Isso significa que os vetores e são linearmente independentes, já que a única combinação linear que resulta no vetor zero é a trivial (com e iguais a zero).
Passo 5
Agora que sabemos que e são linearmente independentes, precisamos verificar se eles geram o espaço . Geralmente, se temos exatamente o número de vetores igual à dimensão do espaço, e eles são linearmente independentes, então eles formam uma base.
Assumindo que é um espaço vetorial de dimensão 2 (já que estamos trabalhando com matrizes 2x2), e temos dois vetores linearmente independentes, então sim, eles geram .
Resposta
Sim, os vetores e formam uma base para o espaço , pois são linearmente independentes e geram .