Os vetores u1=(ll1 & 1 1 & 1) e u2=(ll1 & 2 2 & 1) formam uma base de S? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe está falando sobre base de um espaço vetorial, que é um conceito da Álgebra Linear. Basicamente, uma base é um conjunto de vetores que geram todo o espaço (ou subespaço) e que são linearmente independentes. Aqui, temos dois vetores e e queremos saber se eles formam uma base para o espaço . Para resolver isso, a gente precisa verificar duas coisas:
  1. Linearmente independentes: Nenhum dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear do outro.
  2. Geram o espaço : Qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores.
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a cdot u1 + b cdot u2 = 0 e a cdot 1 & 1 1 & 1 + b cdot 1 & 2 2 & 1 = 0 & 0 0 & 0 são linearmente independentes. Para isso, consideramos a combinação linear deles igual a zero:
a + b = 0 a + 2b = 0 a + 2b = 0 a + b = 0
Ou seja,
Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema. Observamos que as equações 1 e 4 são idênticas, e as equações 2 e 3 também são iguais. Então, acabamos com:
a + b = 0 a + 2b = 0
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(a + 2b) - (a + b) = 0 - 0 b = 0
Substituindo a + 0 = 0 a = 0 na primeira equação:

Passo 4

A única solução para esse sistema é e . Isso significa que os vetores e são linearmente independentes, já que a única combinação linear que resulta no vetor zero é a trivial (com e iguais a zero).

Passo 5

Agora que sabemos que e são linearmente independentes, precisamos verificar se eles geram o espaço . Geralmente, se temos exatamente o número de vetores igual à dimensão do espaço, e eles são linearmente independentes, então eles formam uma base.
Assumindo que é um espaço vetorial de dimensão 2 (já que estamos trabalhando com matrizes 2x2), e temos dois vetores linearmente independentes, então sim, eles geram .

Resposta

Sim, os vetores e formam uma base para o espaço , pois são linearmente independentes e geram .

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