Seja . Provar que a equação possui três raízes reais.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos a função polinomial e precisamos provar que a equação tem três raízes reais. Isso significa que existem três valores de que fazem igual a zero.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente o estudo do comportamento da função através de suas derivadas. Precisaremos analisar onde a função tem máximos e mínimos locais para entender como ela se comporta e quantas vezes ela cruza o eixo .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos ajuda a encontrar os pontos onde a função tem máximos ou mínimos locais.
Derivando em relação a :

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de onde . Esses pontos são potenciais candidatos para máximos ou mínimos locais.
Resolvendo a equação:
Usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
Onde , , e :
Então, temos duas raízes:

Passo 4

Agora que conhecemos os pontos críticos e , vamos analisar o comportamento da função nesses pontos para determinar se são máximos ou mínimos.
Calculamos a segunda derivada:
Avaliar em :
Como , é um ponto de mínimo local.
Avaliar em :
Como , é um ponto de máximo local.

Passo 5

Com os pontos de máximo e mínimo local identificados, podemos agora traçar um esboço do gráfico da função para entender quantas vezes ele cruza o eixo .
  • A função tende a quando e a quando , já que o termo de maior grau domina.
  • Há um máximo local em e um mínimo local em .
Isso sugere que a função cruza o eixo três vezes: uma vez à esquerda do máximo, uma vez entre o máximo e o mínimo, e uma vez à direita do mínimo.

Resposta

Portanto, a equação possui três raízes reais.

Exercícios relacionados

Prove que:
.
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Seja . Provar que a equação possui três raízes reais.
Seja . Localizar uma das raiz em um intervalo de comprimento 0.5.
Seja . Provar que a equação possui duas raízes reais.