Seja
. Provar que a equação
possui três raízes reais.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos a função polinomial
e precisamos provar que a equação
tem três raízes reais. Isso significa que existem três valores de
que fazem
igual a zero.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente o estudo do comportamento da função através de suas derivadas. Precisaremos analisar onde a função
tem máximos e mínimos locais para entender como ela se comporta e quantas vezes ela cruza o eixo
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos ajuda a encontrar os pontos onde a função tem máximos ou mínimos locais.
Derivando em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de
onde
. Esses pontos são potenciais candidatos para máximos ou mínimos locais.
Resolvendo a equação:
Usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
Onde
,
, e
:
Então, temos duas raízes:
Passo 4
Agora que conhecemos os pontos críticos
e
, vamos analisar o comportamento da função nesses pontos para determinar se são máximos ou mínimos.
Calculamos a segunda derivada:
Avaliar
em
:
Como
,
é um ponto de mínimo local.
Avaliar
em
:
Como
,
é um ponto de máximo local.
Passo 5
Com os pontos de máximo e mínimo local identificados, podemos agora traçar um esboço do gráfico da função para entender quantas vezes ele cruza o eixo
.
- A função tende a
quando e a quando , já que o termo de maior grau domina. - Há um máximo local em
e um mínimo local em .
Isso sugere que a função cruza o eixo
três vezes: uma vez à esquerda do máximo, uma vez entre o máximo e o mínimo, e uma vez à direita do mínimo.
Resposta
Portanto, a equação
possui três raízes reais.
Exercícios relacionados
Prove que:
.
.
Seja
. Provar que a equação
possui três raízes reais.
Seja
. Localizar uma das raiz em um intervalo de comprimento 0.5.
Seja
. Provar que a equação
possui duas raízes reais.