Seja . Responda V (verdadeiro) ou F (falso), justificando a sua resposta. (1,0 ponto) e é subespaço vetorial de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está no campo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre subespaços vetoriais. Precisamos determinar se o conjunto , definido como todas as matrizes com entradas reais onde e , é um subespaço de .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é considerado um subespaço se satisfizer três condições:
  1. Contém o vetor zero: A matriz nula deve estar em .
  2. Fechado sob adição: A soma de quaisquer duas matrizes em também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Qualquer matriz em multiplicada por um escalar real também deve estar em .

Passo 3

1. Verificando se o vetor zero está em :
A matriz zero em é:
Aqui, , , e .
Verificamos as condições:
  • (Verdadeiro)
  • (Verdadeiro)
Portanto, a matriz zero está em .

Passo 4

2. Verificando a fechamento sob adição:
Vamos pegar duas matrizes quaisquer em :
A soma é:
Para que esteja em , as condições devem ser satisfeitas:
Sabemos que e , então é verdadeiro.
Agora, analisando deve ser igual a .
Isso implica que:
A igualdade só ocorre se , o que não é garantido para todas as matrizes em . Portanto, não é fechado sob adição.

Passo 5

3. Verificando o fechamento sob multiplicação por escalar:
Mesmo que já tenhamos identificado que não é um subespaço devido à falta de fechamento sob adição, por completude, vamos verificar o fechamento sob multiplicação por escalar.
Pegamos uma matriz em :
Multiplicando por um escalar :
Para estar em :
A segunda condição é satisfeita se .
No entanto, a primeira condição requer que ou , o que não é necessariamente verdadeiro para todos os escalar e todas as matrizes em . Portanto, não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

F (Falso). O conjunto não é um subespaço vetorial de porque não satisfaz as condições de fechamento sob adição e multiplicação por escalar.

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Seja . Responda V (verdadeiro) ou F (falso), justificando a sua resposta. ponto) .
Prove que as retas
são reversas e ache a distância entre elas.
Sejam e e um subespaço de . ( 1,0 ponto) Apresente uma base de um subespaço de com , tal que , justificando a sua resposta.
Sejam e
subespaços de . Determine: pontos) .