Seja V=M2 times 2(R). Responda V (verdadeiro) ou F (falso), justificando a sua resposta. (1,0 ponto) W=(lla & b c & d) in M2 times 2(R): a=d^2 e b=c é subespaço vetorial de V.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está no campo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre subespaços vetoriais. Precisamos determinar se o conjunto , definido como todas as matrizes com entradas reais onde e , é um subespaço de .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é considerado um subespaço se satisfizer três condições:
  1. Contém o vetor zero: A matriz nula deve estar em .
  2. Fechado sob adição: A soma de quaisquer duas matrizes em também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Qualquer matriz em multiplicada por um escalar real também deve estar em .

Passo 3

1. Verificando se o vetor zero está em 0 & 0 0 & 0 :
A matriz zero em é:
Aqui, , , e .
Verificamos as condições:
  • (Verdadeiro)
  • (Verdadeiro)
Portanto, a matriz zero está em .

Passo 4

2. Verificando a fechamento sob adição:
Vamos pegar duas matrizes quaisquer em A = a1 & b1 c1 & d1 , com a1 = d1^2 e b1 = c1 :
B = a2 & b2 c2 & d2 , com a2 = d2^2 e b2 = c2
A + B = a1 + a2 & b1 + b2 c1 + c2 & d1 + d2
A soma d1^2 + d2^2 = d1^2 + 2d1d2 + d2^2 Rightarrow 0 = 2d1d2 é:
Para que esteja em , as condições devem ser satisfeitas:
Sabemos que e , então é verdadeiro.
Agora, analisando deve ser igual a .
Isso implica que:
A igualdade só ocorre se , o que não é garantido para todas as matrizes em . Portanto, não é fechado sob adição.

Passo 5

3. Verificando o fechamento sob multiplicação por escalar:
Mesmo que já tenhamos identificado que A = a & b c & d , com a = d^2 e b = c não é um subespaço devido à falta de fechamento sob adição, por completude, vamos verificar o fechamento sob multiplicação por escalar.
Pegamos uma matriz kA = ka & kb kc & kd em :
Multiplicando por um escalar :
Para estar em :
A segunda condição é satisfeita se .
No entanto, a primeira condição requer que ou , o que não é necessariamente verdadeiro para todos os escalar e todas as matrizes em . Portanto, não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

F (Falso). O conjunto não é um subespaço vetorial de porque não satisfaz as condições de fechamento sob adição e multiplicação por escalar.

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