Seja
. Responda V (verdadeiro) ou F (falso), justificando a sua resposta. (1,0 ponto)
e
é subespaço vetorial de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está no campo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre subespaços vetoriais. Precisamos determinar se o conjunto
, definido como todas as matrizes
com entradas reais onde
e
, é um subespaço de
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é considerado um subespaço se satisfizer três condições:
- Contém o vetor zero: A matriz nula deve estar em
. - Fechado sob adição: A soma de quaisquer duas matrizes em
também deve estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Qualquer matriz em
multiplicada por um escalar real também deve estar em .
Passo 3
1. Verificando se o vetor zero está em
:
A matriz zero em
é:
Aqui,
,
,
e
.
Verificamos as condições:
-
(Verdadeiro) -
(Verdadeiro)
Portanto, a matriz zero está em
.
Passo 4
2. Verificando a fechamento sob adição:
Vamos pegar duas matrizes quaisquer em
:
A soma
é:
Para que
esteja em
, as condições devem ser satisfeitas:
Sabemos que
e
, então
é verdadeiro.
Agora, analisando
deve ser igual a
.
Isso implica que:
A igualdade só ocorre se
, o que não é garantido para todas as matrizes em
. Portanto,
não é fechado sob adição.
Passo 5
3. Verificando o fechamento sob multiplicação por escalar:
Mesmo que já tenhamos identificado que
não é um subespaço devido à falta de fechamento sob adição, por completude, vamos verificar o fechamento sob multiplicação por escalar.
Pegamos uma matriz
em
:
Multiplicando por um escalar
:
Para
estar em
:
A segunda condição
é satisfeita se
.
No entanto, a primeira condição
requer que
ou
, o que não é necessariamente verdadeiro para todos os escalar
e todas as matrizes em
. Portanto,
não é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
F (Falso). O conjunto
não é um subespaço vetorial de
porque não satisfaz as condições de fechamento sob adição e multiplicação por escalar.
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Seja
. Responda V (verdadeiro) ou F (falso), justificando a sua resposta.
ponto)
.
Prove que as retas
são reversas e ache a distância entre elas.
Sejam
e
e
um subespaço de
. ( 1,0 ponto) Apresente uma base de um subespaço
de
com
, tal que
, justificando a sua resposta.
Sejam
e
subespaços de
. Determine:
pontos)
.